设A,B,C是任意集合,证明或否定下列断言: (1)若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C; (2)若A∈B,且B⊆C,则A∈C; (3)若A∈B,且B∈C,则A∈C; (4)若A∈B,且B∈C,则A∈C;
时间: 2023-08-22 09:06:18 浏览: 200
### 回答1:
证明:(1)正确:若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C。证明:设x为A中的任意元素,由A⊆B得x∈B,由B⊆C得x∈C,故A⊆C。
(2)正确:若A∈B,且B⊆C,则A∈C。证明:设A为B中的任意元素,由A∈B得A∈C,故A∈C。
(3)正确:若A∈B,且B∈C,则A∈C。证明:设A为B中的任意元素,由A∈B得A∈C,故A∈C。
(4)正确:若A∈B,且B∈C,则A∈C。证明:设A为B中的任意元素,由A∈B得A∈C,故A∈C。
### 回答2:
(1) 断言为真。根据A⊆B和B⊆C的定义,对于任意的x,如果x∈A,则x∈B,再根据x∈B,则x∈C。因此,对于任意的元素x,如果x∈A,则x∈C,即A⊆C。
(2) 断言为真。根据A∈B和B⊆C的定义,如果A是B的元素,则A也是C的元素,即A∈C。
(3) 断言为假。举个反例,假设A={1, 2},B={{1, 2}},C={{{1, 2}}},即A是B的一个元素,B是C的一个元素。但是A不是C的元素,因为A和C的元素不相等。
(4) 断言为假。同样举个反例,假设A={1, 2},B={{1, 2}},C={{{1, 2}}},即A是B的一个元素,B是C的一个元素。但是A不是C的元素,因为A和C的元素不相等。
### 回答3:
(1) 断言是成立的。假设A⊆B且B⊆C,即对于任意x∈A,都有x∈B;对于任意x∈B,都有x∈C。由此可得,对于任意x∈A,也有x∈C,即A⊆C。
(2) 断言是成立的。假设A∈B且B⊆C,即A是B的元素且B是C的子集。根据集合的传递性,任何B的元素也是C的元素,因此A∈C。
(3) 断言是错误的。举个反例:假设A={1},B={{1}},C={ {{1}} },其中1是一个元素。显然,A∈B且B∈C,但是A不属于C。
(4) 断言是成立的。假设A∈B且B∈C,即A是B的元素且B是C的元素。根据集合的传递性,A也是C的元素,因此A∈C。
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