matlab卡尔曼滤波非线性函数

在卡尔曼滤波中，通常假设系统是线性的，但在实际应用中，许多系统都是非线性的。针对这种情况，可以使用扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）或无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）等算法，来处理非线性函数。

下面以 EKF 为例，介绍如何处理非线性函数。

假设系统的状态方程和测量方程如下：

$x_k = f(x_{k-1}, u_k) + w_k$

$z_k = h(x_k) + v_k$

其中，$x_k$ 为系统在时刻 $k$ 的状态向量，$u_k$ 为控制向量，$w_k$ 和 $v_k$ 分别为系统状态和测量噪声。$f(\cdot)$ 和 $h(\cdot)$ 分别为非线性函数，通常无法直接应用卡尔曼滤波算法。

针对这种情况，可以使用 EKF 算法，将非线性函数进行线性化，然后应用卡尔曼滤波算法。具体步骤如下：

1. 计算状态转移矩阵 $F_k$ 和过程噪声协方差矩阵 $Q_k$：

$F_k = \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{\hat{x}_{k-1|k-1},u_k}$

$Q_k = E[w_k w_k^T]$

其中，$\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示 $f(\cdot)$ 对 $x$ 的偏导数。

2. 根据卡尔曼滤波算法，计算先验估计值：

$\hat{x}_{k|k-1} = f(\hat{x}_{k-1|k-1}, u_k)$

$P_{k|k-1} = F_k P_{k-1|k-1} F_k^T + Q_k$

其中，$P_{k|k-1}$ 表示先验估计值的协方差矩阵，$P_{k-1|k-1}$ 表示上一时刻的后验估计值的协方差矩阵。

3. 计算测量矩阵 $H_k$ 和测量噪声协方差矩阵 $R_k$：

$H_k = \frac{\partial h}{\partial x}\bigg|_{\hat{x}_{k|k-1}}$

$R_k = E[v_k v_k^T]$

其中，$\frac{\partial h}{\partial x}$ 表示 $h(\cdot)$ 对 $x$ 的偏导数。

4. 根据卡尔曼滤波算法，计算后验估计值：

$K_k = P_{k|k-1} H_k^T (H_k P_{k|k-1} H_k^T + R_k)^{-1}$

$\hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k (z_k - h(\hat{x}_{k|k-1}))$

$P_{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1}$

其中，$K_k$ 表示卡尔曼增益，$\hat{x}_{k|k}$ 和 $P_{k|k}$ 分别表示后验估计值和后验估计值的协方差矩阵。

需要注意的是，EKF 算法对非线性函数的线性化可能会带来一定的误差，因此在实际应用中需要进行充分的验证和调试。