matlab求解lmi

在 MATLAB 中，可以使用 Control System Toolbox 中的 lmi 工具箱来求解线性矩阵不等式（LMI）问题。LMI 是一种特殊的约束条件，可以用于描述线性系统的稳定性、鲁棒性等性质。

下面是一个简单的例子，演示如何使用 MATLAB 求解 LMI：

假设我们有一个线性系统，其状态空间表达式为：

x_dot = A * x + B * u

其中，A 和 B 是已知矩阵，x 和 u 分别是状态变量和输入变量。

我们希望设计一个反馈控制器，使得系统的闭环稳定，并且满足以下性能要求：

1. 系统的响应速度要快，即要求系统的自然频率高于 1 弧秒。

2. 系统的鲁棒性要好，即要求系统的扰动抑制能力强，扰动大小不超过 0.1。

为了实现这个设计，我们可以使用 LMI 工具箱来求解适当的矩阵 P 和 K，使得以下 LMI 条件成立：

[ A' * P + P * A + 2 * P * B * K + 2 * K' * B' * P, B * B';
(B * B') , eye(size(B, 2))] > 0

P > 0

其中，K 是反馈控制器的增益矩阵，P 是状态反馈器的增益矩阵。

下面是 MATLAB 代码示例：

% 定义已知矩阵 A 和 B
A = [0 1; -1 -1];
B = [0; 1];

% 定义性能指标参数
W1 = 1;
W2 = 1 / 0.1^2;

% 定义 LMI 变量
setlmis([]);
P = lmivar(1, [2 1]);
K = lmivar(2, [1 2]);

% 定义 LMI 条件
lmiterm([1 1 1 P], A', 1, 's');
lmiterm([1 1 1 P], 1, A, 's');
lmiterm([1 1 1 P], 2*B*K, 1, 's');
lmiterm([1 1 1 K'], 2*B'*P, 1, 's');
lmiterm([1 1 2 0], B*B');
lmiterm([1 2 2 0], eye(1));
lmiterm([2 1 1 P], 1, W1, 's');
lmiterm([2 2 1 K], 1, W2, 's');

% 解决 LMI
lmis = getlmis;
[tmin, xfeas] = feasp(lmis);
P = dec2mat(lmis, xfeas, P);
K = dec2mat(lmis, xfeas, K);

% 检查解是否可行
if ~isempty(tmin)
    disp('LMI 不可满足');
else
    disp('LMI 可满足');
    disp(['状态反馈器增益矩阵 P = ' num2str(P)]);
    disp(['反馈控制器增益矩阵 K = ' num2str(K)]);
end

在上面的代码中，我们首先定义了已知矩阵 A 和 B，然后定义了性能指标参数 W1 和 W2，分别对应于系统的自然频率和鲁棒性要求。接下来，我们使用 `setlmis` 函数定义了一个空的 LMI 系统，并使用 `lmivar` 函数定义了两个 LMI 变量 P 和 K。然后，我们使用 `lmiterm` 函数定义了 LMI 条件，并将其添加到 LMI 系统中。最后，我们使用 `feasp` 函数求解 LMI，并使用 `dec2mat` 函数提取解。如果 LMI 可满足，则输出状态反馈器增益矩阵 P 和反馈控制器增益矩阵 K。