请解释：1.为什么在h(x)是x处的凹函数，G(x)是一个对称矩阵的条件下，h(σ(G(x)))是G(x)处的凹函数；2.为什么在h(x)是x处的凹函数，当x≥0时，h(x)的导数＜0，G(x)是一个任意矩阵的条件下，h(σ(G(x)))是G(x)处的凹函数；3.为什么在h(x)是x处的凹函数，当x≥0时，h(x)的导数≥0，G(x)是一个对称矩阵的条件下，h(σ(G(x)))是G(x)的转置乘以G(x)处的凹函数。（其中G(x)是一个矩阵输出函数，σ(G(x))是矩阵G(x)的奇异值向量）

1. 当h(x)是x处的凹函数且G(x)是对称矩阵时，我们有以下性质：
h(σ(G(x))) = h(G^(1/2)xG^(1/2))，其中G^(1/2)表示G(x)的平方根。
由于G^(1/2)是一个对称矩阵，因此有G^(1/2) = QΛQ^T，其中Q是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵。
因此，我们可以将h(σ(G(x)))表示为h(QΛ^(1/2)Q^TxΛ^(1/2)Q^T)，其中Λ^(1/2)表示Λ的平方根。
由于h(x)是x处的凹函数，所以h(QΛ^(1/2)Q^TxΛ^(1/2)Q^T)是G^(1/2)xG^(1/2)处的凹函数，即h(σ(G(x)))是G(x)处的凹函数。

2. 当h(x)是x处的凹函数且x≥0时，h(x)的导数＜0，G(x)是一个任意矩阵时，我们有以下性质：
h(σ(G(x))) = h(G^(1/2)xG^(1/2))，其中G^(1/2)表示G(x)的平方根。
由于x≥0，因此G^(1/2)xG^(1/2)是半正定矩阵，即它的所有特征值都大于等于0。
因此，我们可以将G^(1/2)xG^(1/2)表示为QΛQ^T，其中Q是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵且所有对角线元素都大于等于0。
由于h(x)是x处的凹函数且x≥0时，h(x)的导数＜0，因此h(QΛQ^TxQΛQ^T)是G^(1/2)xG^(1/2)处的凹函数，即h(σ(G(x)))是G(x)处的凹函数。

3. 当h(x)是x处的凹函数且x≥0时，h(x)的导数≥0，G(x)是一个对称矩阵时，我们有以下性质：
h(σ(G(x))) = h(G^(1/2)xG^(1/2))，其中G^(1/2)表示G(x)的平方根。
由于G(x)是对称矩阵，因此有G^(1/2) = QΛQ^T，其中Q是一个正交矩阵，Λ是一个对角矩阵。
因此，我们可以将h(σ(G(x)))表示为h(QΛ^(1/2)Q^TxΛ^(1/2)Q^T)。
由于h(x)是x处的凹函数且x≥0时，h(x)的导数≥0，因此h(QΛ^(1/2)Q^TxΛ^(1/2)Q^T)是QΛ^(1/2)Q^TxQΛ^(1/2)Q^T的转置乘以QΛ^(1/2)Q^TxQΛ^(1/2)Q^T处的凹函数。
因此，h(σ(G(x)))是G(x)的转置乘以G(x)处的凹函数。