梯度下降法和2范数求导

梯度下降法是一种用于优化目标函数的迭代算法。它通过计算目标函数对于参数的梯度，并按照负梯度方向进行参数更新，从而逐步接近目标函数的最小值。

在梯度下降法中，我们需要计算目标函数对于参数的导数。对于2范数（也称为欧几里得范数），它表示向量中各个元素的平方和的平方根。

如果我们有一个向量x = [x1, x2, ..., xn]，那么它的2范数可以表示为 ||x||2 = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。

现在，我们要求2范数关于向量x的导数。首先，我们可以将2范数展开为各个元素的平方和的平方根形式：

||x||2 = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)
= (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)^(1/2)

然后，我们可以使用链式法则来求解导数。设y = (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)，则有：

dy/dx1 = 2*x1
dy/dx2 = 2*x2
...
dy/dxn = 2*xn

综合起来，我们得到了2范数关于向量x的导数：

d||x||2/dx = [dy/dx1, dy/dx2, ..., dy/dxn] = [2*x1, 2*x2, ..., 2*xn]

这个导数表示了在给定向量x的情况下，2范数关于每个元素的变化率。在梯度下降法中，我们可以使用这个导数来更新参数，以便逐步接近最小值点。

相关问题

考虑 LASSO 问题： 2 2 1 1 minx 2 Ax b x − + µ 利用 Huber 光滑方法通过以光滑函数逼近 1 l − 范数，以在得到的可微函数上利用梯度 下降法对原问题近似求解。 我们在此展示 Huber 光滑化梯度法的应用。

Huber光滑方法可以将L1范数光滑化，并在可微函数上使用梯度下降法求解。考虑LASSO问题：

minimize x {1/2 ||Ax-b||^2 + μ||x||_1}

其中||x||_1是L1范数，我们可以使用Huber函数将其光滑化：

f(x) = ∑_i=1^n h(x_i)

其中h(x_i) = { 1/2 x_i^2 if |x_i| ≤ δ
δ(|x_i| - δ/2) if |x_i| > δ }

其中δ是Huber函数的参数，控制光滑化的程度。

我们可以将原问题转化为：

minimize x {1/2 ||Ax-b||^2 + μ f(x)}

我们可以在光滑函数上使用梯度下降法来求解这个问题。梯度可以通过对每个h(x_i)求导得到：

∂h(x_i)/∂x_i = { x_i if |x_i| ≤ δ
δ sign(x_i) if |x_i| > δ }

因此，我们可以使用以下更新规则来更新参数x：

x_i = x_i - α(∂f(x)/∂x_i)

其中α是学习率，可以根据实际情况进行调整。

我们可以使用这个方法来近似求解LASSO问题。

梯度下降法的matlab实现

梯度下降法是求解无约束最优化问题的一种常用方法。在Matlab中，可以通过编写函数来实现梯度下降法。下面是一个示例代码：

function [k ender]=steepest(f,x,e)
%syms x1 x2 m; %m为学习率
d=-[diff(f,x(1));diff(f,x(2))]; %分别求x1和x2的偏导数，即下降的方向
flag=1; %循环标志
k=0; %迭代次数
while(flag)
d_temp=subs(d,x(1),x(1)); %将起始点代入，求得当次下降x1梯度值
d_temp=sub梯度下降法是求解无约束最优化问题的一种常用方法。在Matlab中，可以通过编写函数来实现梯度下降法。下面是一个示例代码：

function [k ender]=steepest(f,x,e)
%syms x1 x2 m; %m为学习率
d=-[diff(f,x(1));diff(f,x(2))]; %分别求x1和x2的偏导数，即下降的方向
flag=1; %循环标志
k=0; %迭代次数
while(flag)
d_temp=subs(d,x(1),x(1)); %将起始点代入，求得当次下降x1梯度值
d_temp=subs(d_temp,x(2),x(2)); %将起始点代入，求得当次下降x2梯度值
nor=norm(d_temp); %范数
if(nor>=e)
x_temp=x+m*d_temp; %改变初始点x的值
f_temp=subs(f,x(1),x_temp(1)); %将改变后的x1和x2代入目标函数
f_temp=subs(f_temp,x(2),x_temp(2));
h=diff(f_temp,m); %对m求导，找出最佳学习率
m_temp=solve(h); %求方程，得到当次m
x=x+m_temp*d_temp; %更新起始点x
k=k+1;
else
flag=0;
end
end
ender=double(x); %终点
end

这个函数需要三个参数：目标函数f、初始点x和精度e。输出也为两个参数，k表示迭代的次数，ender表示找到的最低点。