设有n件工作分配给n个人。将工作i分配给第j个人所需的费用为cij 。 设计一个算法，对于给定的工作费用，为每一个人都分配1 件不同的工作，并使总费用达到最小。

这是一个经典的任务分配问题，可以使用匈牙利算法来解决。具体步骤如下：

1. 初始化一个二维数组match，表示每个人分配的工作编号，初始值为-1。
2. 对于每个人i，从其可选的工作中选择费用最小的工作j，将match[i][j]赋值为1。
3. 如果有多个人选择了同一个工作，选择其中费用最小的人。
4. 对于每个人i，如果其没有被分配到工作，则从其可选的工作中选择费用最小的工作j，将match[i][j]赋值为1。
5. 重复步骤2-4，直到每个人都被分配到了工作。
6. 计算总费用，即所有分配的工作费用之和。

匈牙利算法的时间复杂度为O(n^3)，可以在较短的时间内解决较大规模的问题。

相关问题

设有n件工作分配给n个人。将工作i分配给第j个人所需的费用为cij。试设计一个算法，为每个人都分配1件不同的工作，并使总费用达到最小。

### 回答1：
这是一个经典的任务分配问题，可以使用匈牙利算法来解决。首先，我们将每个人看作一个节点，每个工作看作一个节点，然后建立一个二分图。对于每个工作节点i，与每个人节点j之间连一条边，边权为cij。然后，我们从任意一个未匹配的人节点开始，尝试将其与一个未匹配的工作节点匹配。如果匹配成功，则继续尝试为下一个未匹配的人节点寻找匹配。如果匹配失败，则尝试调整已匹配的人节点的匹配，使其可以匹配到其他工作节点。重复这个过程，直到所有人节点都被匹配。最终，所有人都会被分配到一件不同的工作，并且总费用达到最小。

### 回答2：
这是一个非常典型的任务分配问题，可以用匈牙利算法解决。具体算法流程如下：

1. 定义一个长度为n的数组match，用来记录每个人分配的工作编号，初始值均为-1。

2. 对于每个人i，从未分配工作的工作中，选取一件与其费用最小的工作j，尝试将i与j匹配。具体实现中，可以用一个长度为n的数组used记录哪些工作已被匹配过，初始值均为false。

3. 若工作j未被匹配，则直接匹配；否则，将以前匹配了这个工作的人k暂时从工作中删除，然后尝试将当前人i与工作j匹配，接着再把k与原来的工作匹配。

4. 若i与j匹配成功，则将match[i]赋值为j，并返回true；否则返回false，表示无法分配更小的费用。

5. 重复步骤2-4，直到每个人都分配了一件工作为止。

6. 最终返回所有匹配成功的费用的总和。

算法的时间复杂度为O(n^3)，可以通过优化达到O(n^2)。实际应用中，任务分配问题经常涉及到多个限制条件和优化目标，可能需要使用更高级的算法来解决，例如线性规划、整数规划、遗传算法等。

### 回答3：
这个问题可以通过使用匈牙利算法来解决。这是一个经典的图匹配问题，其中每个工作被视为左边的一个节点，每个人被视为右边的一个节点，每个费用被视为一条连接左边和右边节点的边。

匈牙利算法的基本思想是，首先将所有人设为未匹配状态。接下来，对于每个未匹配的人，尝试将其分配到一个工作上。对于每个未分配的工作，找到一个可以与该人匹配的工作，并更新匹配状态以反映该匹配。如果找不到可匹配的工作，则将该人从未匹配状态转移到匹配状态，然后继续处理下一个未匹配的人，直到所有人都被匹配。

为了实现这个算法，我们可以使用一个二维数组来存储费用，一个一维数组来存储每个人的状态，以及一个额外的数组来记录每个工作的匹配状态。

以下是一个示例实现：

// n为人数，c为费用数组，match为匹配状态数组
int hungarian(int n, int c[][n], int match[])
{
    // 初始化未匹配状态
    int lx[n], ly[n], slack[n], prev[n];
    memset(ly, 0, sizeof(ly));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        lx[i] = INT_MIN;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            if (c[i][j] > lx[i]) {
                lx[i] = c[i][j];
            }
        }
    }
    memset(match, -1, sizeof(int) * n);

    // 匈牙利算法
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        memset(slack, 0x7f, sizeof(slack));
        int u = i, v = -1;
        while (v == -1) {
            int min_slack = INT_MAX, min_j;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (match[j] == -1) {
                    if (lx[u] + ly[j] - c[u][j] < slack[j]) {
                        slack[j] = lx[u] + ly[j] - c[u][j];
                        prev[j] = u;
                    }
                    if (slack[j] < min_slack) {
                        min_slack = slack[j];
                        min_j = j;
                    }
                }
            }
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (ly[j] < min_slack) {
                    min_slack = ly[j];
                    min_j = -1;
                }
            }
            if (min_j == -1) {
                int delta = INT_MAX;
                for (int j = 0; j < n; j++) {
                    if (match[j] == -1 && slack[j] < delta) {
                        delta = slack[j];
                    }
                }
                for (int j = 0; j < n; j++) {
                    if (lx[prev[j]] + ly[j] == c[prev[j]][j] && slack[j] == delta) {
                        if (match[j] != -1) {
                            prev[match[j]] = j;
                            v = match[j];
                        } else {
                            v = j;
                        }
                        match[j] = prev[j];
                        break;
                    }
                }
            } else {
                if (match[min_j] == -1) {
                    v = min_j;
                } else {
                    prev[match[min_j]] = min_j;
                    v = match[min_j];
                }
                match[min_j] = u;
            }
        }
        while (u != -1) {
            int nxt = match[u];
            ly[u] += lx[u] - c[u][nxt];
            lx[nxt] = max(lx[nxt], lx[u] - ly[u] + c[u][nxt]);
            u = prev[u];
        }
    }

    // 计算总费用
    int cost = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cost += c[match[i]][i];
    }
    return cost;
}

请注意，该算法的复杂度为O(n^3)，因此只适用于较小的问题规模。对于较大的问题，可以使用其他算法，如KM算法。

设有n件工作分配给n个人。将工作i分配给第j个人所需的费用为 cij。试设计一个算法，为每一个人都分配1 件不同的工作，并使总费用达到最小。 设计一个算法，对于给定的工作费用，计算最佳工作分配方案，使总费用达到最小。

首先，根据每个人的可接受费用，建立一个费用表，将每个工作分配给不同的人，比较每个人接受的费用，并寻找最佳分配方案，使总费用最小。然后，根据费用表，采用贪心算法，选择最佳分配方案，使得总费用最小。最后，根据最佳分配方案，将工作分配给不同的人，使总费用达到最小。