用MATLAB实现以上题目

在 MATLAB 中，你可以使用 `linspace` 函数生成等间距的样本点，然后利用 `lagrange` 函数实现拉格朗日插值。这里是一个简化的示例，假设我们已经有了 \( x_1 = 3.5 \), \( x_2 = 4.5 \), \( f(x_1) \), 和 \( f(x_2) \) 的值：

% 定义插值点
x1 = 3.5;
x2 = 4.5;

% 计算对应的函数值
f_x1 = 1 ./ (1 + x1^2);
f_x2 = 1 ./ (1 + x2^2);

% 创建等间距样本点
x = linspace(min([x1, x2]), max([x1, x2]), 100); % 可视化更多样本点

% 使用拉格朗日插值公式
basis_1 = (x - x2) ./ (x1 - x2);
basis_2 = (x - x1) ./ (x2 - x1);
lagrange_interp = basis_1 .* f_x1 + basis_2 .* f_x2;

% 打印插值结果及原点的函数值
disp(['P(3.5): ' num2str(lagrange_interp(1)) ', f(3.5): ' num2str(f_x1)]);
disp(['P(4.5): ' num2str(lagrange_interp(end)) ', f(4.5): ' num2str(f_x2)]);

% 绘制函数和插值结果
plot(x, lagrange_interp, 'r', 'LineWidth', 2);
hold on
plot(x1, f_x1, 'bo', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 1);
plot(x2, f_x2, 'go', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 1);
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Lagrange Interpolation for f(x)');
legend('Interpolated Function', ['Point (' num2str(x1) ')'], ['Point (' num2str(x2) ')']);

运行此代码后，你会看到插值多项式在 \( x = 3.5 \) 和 \( x = 4.5 \) 处的值以及这两个点的实际函数值。注意实际执行时，你需要先确定 \( f(x_1) \) 和 \( f(x_2) \) 的值，如果它们未知，则需要先计算。