知一个关节在6秒之内从初始角20度运动到终端角90度,使用三次多项式计算在第1,3秒时关节的角度速度以及加速
时间: 2023-12-10 22:06:20 浏览: 28
假设该关节的初始角度为$q_i=20^\circ$,终端角度为$q_f=90^\circ$,运动时间为$t_f=6$秒。使用三次多项式进行插值,可以得到关节角度随时间变化的函数:
$q(t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3$
为了确定这个函数,需要求解系数$a_0$,$a_1$,$a_2$和$a_3$。根据边界条件,可以列出如下方程组:
$q(0) = q_i = a_0$
$q(t_f) = q_f = a_0 + a_1 t_f + a_2 t_f^2 + a_3 t_f^3$
$q'(0) = \dot{q}(0) = a_1$
$q'(t_f) = \dot{q}(t_f) = a_1 + 2a_2 t_f + 3a_3 t_f^2$
$q''(0) = \ddot{q}(0) = 2a_2$
$q''(t_f) = \ddot{q}(t_f) = 2a_2$
解出这个方程组,得到:
$a_0 = 20^\circ$
$a_1 = 12.5^\circ/s$
$a_2 = -1.5625^\circ/s^2$
$a_3 = 0.2604167^\circ/s^3$
因此,在第1秒和第3秒时,关节角度、角速度和角加速度分别为:
$t=1$秒时:
$q(1) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 = 32.708^\circ$
$\dot{q}(1) = a_1 + 2a_2 t + 3a_3 t^2 = 7.8125^\circ/s$
$\ddot{q}(1) = 2a_2 + 6a_3 t = -3.6458^\circ/s^2$
$t=3$秒时:
$q(3) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 = 64.583^\circ$
$\dot{q}(3) = a_1 + 2a_2 t + 3a_3 t^2 = -1.5625^\circ/s$
$\ddot{q}(3) = 2a_2 + 6a_3 t = -4.6875^\circ/s^2$