求两个正交圆柱面x^2+y^2= R^2及x^2+z^2=R^2所围立体的体积与表面积
时间: 2023-07-15 07:11:00 浏览: 319
这个立体由两个正交圆柱面围成,可以看作是一个半径为 $R$,高为 $2R$ 的圆柱体,再减去两个半球顶面。因此,该立体的体积为:
$$V = \pi R^2 \cdot 2R - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi R^3$$
其中,第一项是圆柱体的体积,第二项是两个半球的体积之和。
接下来计算表面积。圆柱体的表面积为 $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$,每个半球的表面积为 $2\pi R^2$。因此,该立体的表面积为:
$$S = 4\pi R^2 + 2 \cdot 2\pi R^2 = 8\pi R^2$$
相关问题
2x1^2+ax3^2+2x3x2经正交变换x=py可化为标准型y1^2+by2^2-y3^2求a
根据正交变换的性质,对于矩阵A和正交矩阵Q,有QAQ^T是一个对称矩阵。因此,我们可以利用这个性质来解题。
首先,将表达式2x1^2+ax3^2+2x3x2用矩阵表示为x^TAx,其中A为对称矩阵:
A = [2 0 2; 0 0 a; 2 a 0]
然后进行正交变换x=py,得到:
y^TPT^TAPTpy = y^TBTy
其中P为正交矩阵,P^T为P的转置,T为P的逆矩阵,B为标准型对应的对角矩阵:
B = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 -1]
代入A和B的值,有:
y^TPT^T[2 0 2; 0 0 a; 2 a 0]py = y^T[1 0 0; 0 1 0; 0 0 -1]y
化简得:
2y1^2 + ay2^2 + 2ay1y3 - y3^2 = y1^2 + y2^2 - y3^2
即:
y1^2 + (a-1)y2^2 + 2ay1y3 - y3^2 = 0
由于P是正交矩阵,因此y1^2 + y2^2 + y3^2 = x^Tx。而x^Tx的值不受正交变换的影响,因此为了方便计算,我们可以将左右两边同时除以x^Tx,得到:
(y1/x1)^2 + (y2/x2)^2 + (y3/x3)^2 = 1
将y1^2 + y2^2 + y3^2 = x^Tx代入,得到:
(y1/x1)^2 + (y2/x2)^2 + (y3/x3)^2 = 1
将标准型y1^2+by2^2-y3^2代入,得到:
(y1/x1)^2 + (b-1)(y2/x2)^2 - (y3/x3)^2 = 1
因此,我们可以得到:
b-1 = a-1 = 0
即:
a = b = 1
因此,答案为a=1。
x1^2+x2^2+2x3^2+2x1x2用正交变换法化为标准二次型
首先,我们需要将该二次型写成矩阵的形式:
Q = [1 1 0; 1 1 0; 0 0 2]
然后,我们对矩阵Q进行特征值分解,得到:
Q = PDP^-1
其中,D是特征值矩阵,P是特征向量矩阵。
特征值矩阵D为:
D = [0 0 0; 0 2 0; 0 0 2]
特征向量矩阵P为:
P = [1/√2 -1/√2 0; 1/√2 1/√2 0; 0 0 1]
然后,我们令:
y = Px
则:
y^TQy = x^TP^TQPx = x^T(D) x
化简得:
y1^2 + 2y2^2 + 2y3^2
因此,经过正交变换后,原二次型化为标准二次型为:
y1^2 + 2y2^2 + 2y3^2