给出一个序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7...an，求它的一个子序列（设为s1,s2,...sn），使得这个子序列满足这样的性质：s1<s2<s3<...<sn并且这个子序列的长度最长。输出这个最长子序列的长度，要求时间复杂度为o(n2)。

### 回答1：
这个问题要求给出一个程序列表a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 ... an，并且要求它们组成一个子序列（设为s1，s2，... sn），使得这个子序列满足s1 < s2 < s3 < ... < sn，同时这个子序列的长度最长。要求输出这个最长子序列的长度，并且要求时间复杂度为O(n2)。

### 回答2：
这道题可以使用动态规划算法解决，时间复杂度可以控制在O(n^2)。

首先定义一个数组dp，dp[i]表示以第i个数结尾的最长上升子序列的长度。初始状态下，dp[i]都为1，因为每个数本身都是一个长度为1的上升子序列。

然后从第二个数开始遍历，在第i个数之前的所有数中找到比它小的数j，如果找到了，就更新dp[i]为max(dp[i],dp[j]+1)。这里的意思是，以第i个数结尾的最长上升子序列的长度，要么就是它自己，要么就是前面某个数的上升子序列再加上它自己。最后，遍历dp数组，找到最大值就是最长上升子序列的长度。

下面是具体的代码实现：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
vector<int> dp(n, 1);
for (int i = 1; i < n; i++){
for (int j = 0; j < i; j++){
if (nums[i] > nums[j]){
dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++){
res = max(res, dp[i]);
}
return res;
}

时间复杂度分析：两层循环，每层都遍历了n个数，所以时间复杂度为O(n^2)。

### 回答3：
算法思想：

首先定义一个数组dp，其中dp[i]表示以位置i结尾的最长递增子序列长度，初始值均为1，因为任何一个位置都可以看做最长递增子序列的结尾。

然后从i=2开始遍历，对于位置i，需要考虑前面所有位置j的dp[j]值，如果a[j]<a[i]，说明可以将a[j]加入到以a[i]结尾的最长递增子序列中，那么此时以a[i]结尾的最长递增子序列长度就是dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)。

最后遍历dp数组，取其中的最大值即为最长递增子序列长度。

算法实现：

时间复杂度为O(n^2)。

Python代码如下：

def longestIncreasingSubsequence(arr):
n = len(arr)
dp = [1] * n
for i in range(1, n):
for j in range(i):
if arr[j] < arr[i]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)

arr = [1, 3, 2, 4, 7, 6, 9, 8]
print(longestIncreasingSubsequence(arr)) # 输出：5

Java代码如下：

public static int longestIncreasingSubsequence(int[] arr) {
int n = arr.length;
int[] dp = new int[n];
Arrays.fill(dp, 1);
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (arr[j] < arr[i]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
}

int[] arr = {1, 3, 2, 4, 7, 6, 9, 8};
System.out.println(longestIncreasingSubsequence(arr)); // 输出：5

算法优化：

时间复杂度可以优化到O(nlogn)，具体实现可以参考改进的算法：最长递增子序列（LIS）算法。