用MATLAB验证求解三类便准的线性矩阵不等式问题

时间: 2023-09-03 10:13:02 浏览: 76
好的,我可以帮您回答这个问题。 要验证求解三类便准的线性矩阵不等式问题,可以按照以下步骤: 1. 使用MATLAB中的`lmi`工具箱来表示线性矩阵不等式问题。 2. 将问题转化为标准的线性矩阵不等式问题,即将目标函数转化为一个矩阵,并使用Schur补引理将其转化为一个线性矩阵不等式。 3. 使用`lmi`工具箱中的`lmistruct`函数将线性矩阵不等式问题转化为一个结构体。 4. 使用`lmi`工具箱中的`solve`函数求解线性矩阵不等式问题。 5. 对于三类便准的线性矩阵不等式问题,如果求解成功,那么解将是一个半正定矩阵。 下面是一个简单的MATLAB代码示例,用于验证求解三类便准的线性矩阵不等式问题: ```matlab % 定义问题的参数 A = [-1 1; 0 -2]; B = [1; 1]; C = [1 0]; D = 0; gamma = 1; % 构造线性矩阵不等式 M = [A'*gamma + A - B*B' C'; C zeros(1,1)]; % 使用lmistruct函数将问题转化为结构体 LMI = lmistruct(M); % 求解线性矩阵不等式 [~,X,~] = solve(LMI); % 验证解是否为半正定矩阵 if min(eig(X)) > 0 disp('解是半正定的'); else disp('解不是半正定的'); end ``` 希望这个示例可以帮助您验证求解三类便准的线性矩阵不等式问题。
相关问题

用MATLAB验证求解三类便准的线性矩阵不等式问题的例题

好的,让我们来看一个具体的例题。 考虑以下的线性系统: ``` dx/dt = Ax + Bu y = Cx + Du ``` 其中,状态向量 `x` 是一个2维列向量,输入向量 `u` 是一个标量,输出向量 `y` 也是一个标量。矩阵 `A`、`B`、`C` 和 `D` 分别是: ``` A = [-1 -2; 0 -3] B = [1; 0] C = [1 1] D = 0 ``` 我们的目标是设计一个状态反馈控制器,使得系统的闭环极点在左半平面,并且满足下面的性能指标: 1. 系统的阻尼比大于等于0.7。 2. 系统的静态误差小于等于0.1。 为了满足这些要求,我们可以使用三类便准的线性矩阵不等式来设计状态反馈控制器。具体来说,我们可以将闭环系统表示为以下形式: ``` dx/dt = (A-BK)x y = Cx ``` 其中,`K` 是状态反馈矩阵。根据三类便准的线性矩阵不等式,我们需要找到一个半正定矩阵 `P`,使得下面的矩阵不等式成立: ``` A'PA - PB^2P + C'QC < 0 ``` 其中,`Q` 是一个正定矩阵,它的大小与矩阵 `C` 的大小相同。此外,我们还需要满足以下两个条件: 1. `P` 为对称矩阵。 2. 矩阵 `A-BK` 是稳定的。 我们可以使用MATLAB来验证是否存在满足这些条件的半正定矩阵 `P`,以及对应的状态反馈矩阵 `K`。 以下是MATLAB代码示例: ```matlab % 定义系统的矩阵 A = [-1 -2; 0 -3]; B = [1; 0]; C = [1 1]; D = 0; % 定义性能指标 zeta_min = 0.7; e_ss_max = 0.1; % 定义线性矩阵不等式的参数 Q = eye(2); R = 1; % 求解线性矩阵不等式 setlmis([]); P = lmivar(1,[2 1]); K = lmivar(1,[1 2]); lmiterm([1 1 1 P],A',1,'s'); % A'PA lmiterm([-1 1 1 P],B*B'); % -PB^2P lmiterm([1 1 1 0],-C'*Q*C); % -C'QC lmiterm([1 2 1 K],1,B'); % BK lmiterm([-2 1 1 P],zeta_min^2,1); % zeta_min^2*P > 0 lmiterm([3 1 1 P],1,1); % P > 0 lmis = getlmis; [tmin,xfeas] = feasp(lmis); if tmin < 0 disp('无解'); else P = dec2mat(lmis,xfeas,P); K = dec2mat(lmis,xfeas,K); if min(eig(P)) < 0 disp('解不是半正定的'); else disp('解是半正定的'); disp(['状态反馈矩阵 K = ', num2str(K)]); end end % 计算系统的阻尼比和静态误差 A_new = A - B*K; e_ss = -inv(C*inv(A_new)*B)*D; zeta = sqrt((1 - e_ss)^2 / (1 + e_ss^2)); disp(['系统的阻尼比为 ', num2str(zeta)]); disp(['系统的静态误差为 ', num2str(e_ss)]); ``` 运行这段代码后,MATLAB会输出结果,其中包括: 1. 是否存在满足条件的半正定矩阵 `P`。 2. 对应的状态反馈矩阵 `K`。 3. 系统的阻尼比和静态误差。 希望这个例题可以帮助您理解如何使用MATLAB验证求解三类便准的线性矩阵不等式问题。

简要阐述三类标准的线性矩阵不等式问题,并举例用MATLAB验证

三类标准的线性矩阵不等式问题分别为: 1. 双线性矩阵不等式问题(Bilinear Matrix Inequality,BMI):这类问题中,矩阵不等式中包含两个变量的乘积项,例如 $X^T A Y + Y^T A^T X < 0$,其中 $X$ 和 $Y$ 是矩阵变量,$A$ 是已知矩阵。 2. 线性矩阵不等式问题(Linear Matrix Inequality,LMI):这类问题中,矩阵不等式中只包含线性项,例如 $A^T X + X A < 0$,其中 $X$ 是矩阵变量,$A$ 是已知矩阵。 3. 半定矩阵不等式问题(Semidefinite Matrix Inequality,SDMI):这类问题中,矩阵不等式中只包含半定项,例如 $X \succeq 0$,其中 $X$ 是矩阵变量。 下面举例用MATLAB验证一个LMI问题: 考虑一个线性控制系统,其状态方程为 $\dot{x} = Ax + Bu$,其中 $x$ 是状态向量,$u$ 是控制输入,$A$ 和 $B$ 是已知矩阵。我们希望设计一个状态反馈控制器 $u = -Kx$,使得系统的闭环稳定。为了满足这个要求,需要设计一个矩阵 $K$,使得矩阵不等式 $A^T P + PA - PBB^T P + Q < 0$ 成立,其中 $P$ 是对称正定矩阵,$Q$ 是对称半正定矩阵。 MATLAB代码实现如下: ```matlab % 系统参数 A = [-1 -2; 2 -3]; B = [1; 0]; % LMI参数 P = sdpvar(2, 2); Q = sdpvar(2, 2); % 定义LMI LMI = [A'*P+P*A-P*B*B'*P+Q < 0, P > 0, Q > 0]; % 求解LMI options = sdpsettings('solver', 'sedumi'); sol = optimize(LMI, [], options); % 输出结果 if sol.problem == 0 disp('LMI is feasible.'); K = double(B'*P); else disp('LMI is infeasible.'); end ``` 这段代码中,我们使用 YALMIP 工具箱定义了矩阵变量 $P$ 和 $Q$,并且定义了LMI。然后使用 SDPT3 求解器求解LMI,并根据求解结果输出相应的控制器 $K$。

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