如何使用Antiphon的穷竭法（Archimedes' Method）在MATLAB中编写程序来估算圆周率π，并显示其近似值？

Antiphon的穷竭法，也称为Archimedes' Algorithm，是一种通过不断逼近圆的内接和外切正多边形面积来估算圆周率的经典算法。在MATLAB中，你可以按照以下步骤编写程序：

1. 首先，确定你要使用的正多边形的边数n。例如，选择一个较大的偶数，比如10000。

2. 定义函数，计算给定边数的正多边形的面积。对于一个有n条边的正n边形，半径r和边长a的关系为a = 2 * r * sin(π/n)。因此，面积A可以用公式A = n * (r^2) * sin(π/n)表示。

3. 计算圆的面积。假设圆的半径为R，那么圆的面积是π * R^2。

4. 利用内接和外切正多边形的概念，π可以表示为两个多边形面积的比例：π ≈ 4 * A / π * R^2。

5. 编写循环，不断增加边数n，直到达到所需精度。每次迭代更新π的估计值并记录下来。

6. 输出最后的π近似值和边数n。

以下是MATLAB伪代码示例：

function pi_approximation = archimedeanMethod(n, max_iterations)
    % 初始化
    R = 1; % 圆的半径
    pi_estimate = 0;
    tolerance = 1e-6;

    for iteration = 1:max_iterations
        a = 2 * R * sin(pi/n); % 边长
        A = n * (R^2) * sin(pi/n); % 正多边形面积
        
        % 更新π的估计
        new_pi_estimate = 4 * A / (pi * R^2);
        
        % 如果新旧估计差小于指定的容忍度，则停止
        if abs(new_pi_estimate - pi_estimate) < tolerance
            break;
        end

        pi_estimate = new_pi_estimate;
        n *= 2; % 双倍边数
    end
    
    pi_approximation = pi_estimate;
end

% 调用函数并显示结果
n = 100000; % 例如，选择一个较高的边数
approx_pi = archimedeanMethod(n, 1000); % 设置最大迭代次数
disp(['Using Archimedes method with ' num2str(n) ' sides, estimated pi is approximately ' num2str(approx_pi)]);