设C:|z|=1的正向,则\oint_{c}^{} \frac{\cos z}{z} dz的值为
时间: 2023-11-23 16:20:23 浏览: 31
考虑在复平面上沿着圆周 $|z|=1$ 逆时针方向围成的区域中计算积分。我们可以使用留数定理来计算该积分。具体来说,我们需要找到积分中的奇点,计算其留数,然后将所有留数相加即可得到积分的值。
在本题中,被积函数 $f(z)=\frac{\cos z}{z}$ 在 $z=0$ 处有一个一阶极点,其留数为
$$
\operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to 0} z\frac{\cos z}{z}=\cos 0=1
$$
因此,我们有
$$
\oint_{c}^{} \frac{\cos z}{z} dz=2\pi i \operatorname{Res}(f,0)=2\pi i
$$
因此,积分的值为 $2\pi i$。
相关问题
\oint_{|z|=2}^{} \frac{z}{z^{2}+1 }dz 的值为
我们可以使用留数定理来计算这个复积分。首先,分母 $z^2+1=0$ 的解为 $z=\pm i$,这两个点都在以原点为圆心、半径为 $2$ 的圆 $|z|=2$ 内部。在这个圆内部,被积函数 $\frac{z}{z^2+1}$ 是一个全纯函数,因此圆内部的积分为 $0$。接下来,我们需要计算圆上的积分,即:
$$\oint_{|z|=2}^{} \frac{z}{z^{2}+1 }dz=\oint_{|z|=2}^{} \frac{\frac{1}{2z}}{z-\left(-i\right)}-\frac{\frac{1}{2z}}{z-i}dz$$
现在我们可以看出,这个积分是由 $z=i$ 和 $z=-i$ 两个点的留数贡献的。在 $z=i$ 处,分子为 $\frac{1}{2z}$,因此 $z=i$ 处的留数为 $\frac{1}{2i}$;在 $z=-i$ 处,分子为 $-\frac{1}{2z}$,因此 $z=-i$ 处的留数为 $-\frac{1}{2i}$。因此,根据留数定理,圆上的积分值为:
$$\oint_{|z|=2}^{} \frac{z}{z^{2}+1 }dz=2\pi i\left(\frac{1}{2i}-\frac{1}{-2i}\right)=\pi$$
因此,原复积分的值为 $\pi$。
C 为正向圆周 | z|=2
根据提供的引用内容,我们可以得出以下结论:
引用中提到了复变函数积分的定义和表示方式,其中 ∫ C − f ( z ) d z \int_{C^-}f(z)dz 表示f(z)沿着曲线C的负向的积分,而 ∮ C f ( z ) d z \oint_Cf(z)dz 表示f(z)沿闭曲线的积分。
引用中提到了当z为纯虚数时,cos(yi) = e^(-y) + e^y / 2 = cosh(y)。
根据题目要求,我们需要介绍或演示C为正向圆周 |z|=2的情况。根据引用中的定义,我们可以使用 ∮ C f ( z ) d z \oint_Cf(z)dz 来表示f(z)沿着C的积分。
以下是一个演示C为正向圆周 |z|=2的例子:
```python
import cmath
def f(z):
return cmath.exp(z)
C = cmath.pi * 2 * 2 # 正向圆周 |z|=2的长度
result = cmath.exp(2) - cmath.exp(-2) # 计算f(z)在C上的积分
print("The integral of f(z) along C is:", result)
```
这段代码中,我们定义了一个函数f(z),并使用cmath库中的exp函数来计算e^z。然后,我们定义了C为正向圆周 |z|=2的长度,即2πr,其中r为半径。最后,我们计算了f(z)在C上的积分,并输出结果。