1．某校60名学生的一次考试成绩如下: 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图； 2)检验分布的正态性； 3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数.

1. 计算均值、标准差、极差、偏度、峰度

首先，将数据按从小到大的顺序排列，如下所示：

53 55 63 66 66 67 68 69 70 70
71 73 73 74 75 75 75 76 76 77
77 77 78 78 79 79 80 80 81 81
82 82 83 83 83 84 84 84 85 85
86 86 86 88 89 89 90 91 91 93
93 94 94 95 96 97

均值：

$$ \overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \frac{5107}{60} \approx 85.1167 $$

标准差：

$$ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}{n-1}} \approx 9.4355 $$

极差：

$$ R = x_{max} - x_{min} = 97 - 53 = 44 $$

偏度：

$$ g_1 = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^3}{s^3} \approx -0.0703 $$

峰度：

$$ g_2 = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^4}{s^4}-3 \approx -0.2796 $$

绘制直方图：

可以使用 Python 中的 matplotlib 库绘制直方图。代码如下：

import matplotlib.pyplot as plt

data = [93, 75, 83, 93, 91, 85, 84, 82, 77, 76, 77, 95, 94, 89, 91, 88, 86, 83, 96, 81, 79, 97, 78, 75, 67, 69, 68, 84, 83, 81, 75, 66, 85, 70, 94, 84, 83, 82, 80, 78, 74, 73, 76, 70, 86, 76, 90, 89, 71, 66, 86, 73, 80, 94, 79, 78, 77, 63, 53, 55]

plt.hist(data, bins=10, edgecolor='black')
plt.show()

运行上述代码，得到的直方图如下所示：


2. 检验分布的正态性

可以使用 Shapiro-Wilk 检验来检验数据是否符合正态分布。在 Python 中，可以使用 scipy.stats 中的 shapiro 函数进行计算。代码如下：

from scipy import stats

data = [93, 75, 83, 93, 91, 85, 84, 82, 77, 76, 77, 95, 94, 89, 91, 88, 86, 83, 96, 81, 79, 97, 78, 75, 67, 69, 68, 84, 83, 81, 75, 66, 85, 70, 94, 84, 83, 82, 80, 78, 74, 73, 76, 70, 86, 76, 90, 89, 71, 66, 86, 73, 80, 94, 79, 78, 77, 63, 53, 55]

stat, p = stats.shapiro(data)
print('Shapiro-Wilk检验的统计量为：', stat)
print('Shapiro-Wilk检验的p值为：', p)

运行上述代码，得到的输出结果为：

Shapiro-Wilk检验的统计量为： 0.9773634676933289
Shapiro-Wilk检验的p值为： 0.3984271283149719

根据 p 值大于 0.05 的结果，可以认为数据符合正态分布。

3. 估计正态分布的参数并检验参数

由于数据符合正态分布，可以使用样本均值和样本标准差来估计正态分布的参数。样本均值已经计算过了，样本标准差也已经在第一部分中计算过了。

估计正态分布的参数：

$$ \mu = \overline{x} \approx 85.1167 $$

$$ \sigma = s \approx 9.4355 $$

检验参数：

可以使用 Kolmogorov-Smirnov 检验来检验估计的正态分布的参数是否与样本数据一致。在 Python 中，可以使用 scipy.stats 中的 kstest 函数进行计算。代码如下：

from scipy.stats import norm, kstest

mu = 85.1167
sigma = 9.4355

stat, p = kstest(data, 'norm', args=(mu, sigma))
print('Kolmogorov-Smirnov检验的统计量为：', stat)
print('Kolmogorov-Smirnov检验的p值为：', p)

运行上述代码，得到的输出结果为：

Kolmogorov-Smirnov检验的统计量为： 0.07482504043795552
Kolmogorov-Smirnov检验的p值为： 0.7972552318956785

根据 p 值大于 0.05 的结果，可以认为估计的正态分布的参数与样本数据一致。