MATLAB已知空间中三点,求平面方程(参数)

假设已知三点分别为 $(x_1,y_1,z_1)$，$(x_2,y_2,z_2)$ 和 $(x_3,y_3,z_3)$。

我们可以通过以下步骤求出平面方程：

1. 求出两个向量 $\vec{v_1}=\begin{bmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\\z_2-z_1\end{bmatrix}$ 和 $\vec{v_2}=\begin{bmatrix}x_3-x_1\\y_3-y_1\\z_3-z_1\end{bmatrix}$。

2. 求出两个向量的叉积，即 $\vec{n}=\vec{v_1}\times\vec{v_2}$。

3. 根据向量叉积的性质，$\vec{n}$ 是平面的法向量。因此，平面方程的法向量为 $\vec{n}$。我们可以将其单位化得到法向量 $\vec{N}$。

4. 平面方程可以表示为 $ax+by+cz+d=0$ 的形式，其中 $\vec{N}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$，$d$ 是平面与原点的距离。因此，我们可以通过点法式求出 $d$，即 $d=-\vec{N}\cdot\vec{P}$，其中 $\vec{P}$ 是平面上的任意一点，可以选择已知的任意一个点。

综上所述，平面的方程为：

$$
ax+by+cz+d=0
$$

其中，

$$
\vec{N}=\frac{\vec{v_1}\times\vec{v_2}}{\left\|\vec{v_1}\times\vec{v_2}\right\|}
$$

$$
d=-\vec{N}\cdot\vec{P}
$$

在 MATLAB 中，可以按照以下代码实现：

% 已知三点
P1 = [x1, y1, z1];
P2 = [x2, y2, z2];
P3 = [x3, y3, z3];

% 求出两个向量
v1 = P2 - P1;
v2 = P3 - P1;

% 求出法向量
N = cross(v1, v2);
N = N / norm(N);

% 求出距离
d = -dot(N, P1);

% 输出平面方程
fprintf('平面方程为：%.2fx + %.2fy + %.2fz + %.2f = 0\n', N(1), N(2), N(3), d);