如何使用MATLAB编程来解决文档中的鱼雷追踪问题，并详细解释相关的数学原理？

### 使用MATLAB编程解决鱼雷追踪问题

#### 1. 问题背景
鱼雷追踪问题是经典的常微分方程（ODE）应用之一。具体问题描述如下：敌方战舰在海上沿直线航行，我方战舰在1海里处发现敌舰并发射鱼雷攻击，已知鱼雷速度是战舰速度的5倍。需要确定敌舰航行多远后被击中。

#### 2. 数学模型
首先，我们需要建立数学模型。设敌方战舰的速度为 \( v_0 \)，方向垂直向上；鱼雷的速度为 \( v = 5v_0 \)。以我方战舰为原点，敌方战舰行进方向为纵轴方向建立坐标系。任意时刻 \( t \)，敌舰位置记为 \( B(p(t), q(t)) \)，鱼雷位置记为 \( M(x(t), y(t)) \)。

根据题意，敌舰的位置随时间变化的关系为：
\[ p(t) = 1 \]
\[ q(t) = t \cdot v_0 \]

鱼雷的速度方向始终指向敌舰，因此鱼雷的速度可以表示为：
\[ \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right) = \lambda (p - x, q - y) \]
其中，\( \lambda \) 是比例系数，且满足鱼雷的速度大小为 \( v \)：
\[ \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} = v \]

结合以上两个条件，我们可以推导出 \( \lambda \) 的值：
\[ \lambda = \frac{v}{\sqrt{(p - x)^2 + (q - y)^2}} \]

因此，鱼雷的运动方程可以写为：
\[ \frac{dx}{dt} = \frac{v (p - x)}{\sqrt{(p - x)^2 + (q - y)^2}} \]
\[ \frac{dy}{dt} = \frac{v (q - y)}{\sqrt{(p - x)^2 + (q - y)^2}} \]

#### 3. MATLAB 编程实现
接下来，我们使用 MATLAB 编程来求解这个常微分方程组。

function fish雷追踪问题
    % 参数设置
    v0 = 1; % 敌舰速度
    v = 5 * v0; % 鱼雷速度
    tspan = [0, 1]; % 时间区间
    initial_conditions = [0, 0]; % 初始条件：x(0) = 0, y(0) = 0

    % 求解常微分方程组
    [t, sol] = ode45(@(t, y) fish雷动力学(t, y, v0, v), tspan, initial_conditions);

    % 提取解
    x = sol(:, 1);
    y = sol(:, 2);

    % 绘制鱼雷轨迹
    figure;
    plot(x, y, '-o');
    hold on;
    plot([1, 1], [0, max(y)], '--r'); % 敌舰轨迹
    xlabel('x');
    ylabel('y');
    title('鱼雷追踪轨迹');
    legend('鱼雷轨迹', '敌舰轨迹');

    % 查找鱼雷击中敌舰的时间
    for i = 1:length(t)
        if abs(x(i) - 1) < 1e-3 && abs(y(i) - t(i) * v0) < 1e-3
            fprintf('鱼雷在时间 t = %.4f s 时击中敌舰。\n', t(i));
            break;
        end
    end
end

function dydt = fish雷动力学(t, y, v0, v)
    % 当前位置
    x = y(1);
    y = y(2);

    % 敌舰位置
    p = 1;
    q = t * v0;

    % 计算 λ
    lambda = v / sqrt((p - x)^2 + (q - y)^2);

    % 鱼雷的速度分量
    dxdt = lambda * (p - x);
    dydt = lambda * (q - y);

    dydt = [dxdt; dydt];
end

#### 4. 数学原理解释
1. **常微分方程**：鱼雷的运动可以用一组常微分方程来描述。这些方程描述了鱼雷在不同时间点的位置变化。
2. **数值解法**：由于解析解很难求得，我们使用数值方法（如 `ode45`）来求解常微分方程组。`ode45` 是 MATLAB 中用于求解非刚性常微分方程的标准函数，它使用 Runge-Kutta 法。
3. **初始条件**：初始条件是指在 \( t = 0 \) 时，鱼雷的位置 \( (x(0), y(0)) = (0, 0) \)。
4. **边界条件**：当鱼雷的位置与敌舰的位置重合时，即 \( x = 1 \) 且 \( y = t \cdot v_0 \)，我们认为鱼雷击中敌舰。

通过上述步骤，我们可以使用 MATLAB 编程来求解鱼雷追踪问题，并可视化鱼雷的运动轨迹。