两个总体均值之差(u1-u2)的置信区间

置信区间是统计学中用于估计总体参数的范围。对于两个总体均值之差(u1-u2)，可以使用两个样本的均值和方差来计算置信区间。

首先，从两个总体中分别抽取两个独立的样本，分别为样本1和样本2。假设样本1的均值为x1，样本2的均值为x2，样本1的样本量为n1，样本2的样本量为n2。

然后，计算样本1和样本2的样本均值差(x1-x2)。接下来，计算样本1和样本2的样本方差，分别为s1和s2。

根据中心极限定理，当两个样本量足够大时，样本均值之差满足近似正态分布。因此，可以根据样本均值差的近似正态分布来计算置信区间。

给定所需的置信水平(通常为95%或99%)，查找标准正态分布相应的临界值。假设为α/2，其中α为1减去所需的置信水平。

然后，计算置信区间的下界和上界。下界为(x1-x2)减去临界值乘以标准误差，上界为(x1-x2)加上临界值乘以标准误差。标准误差可以通过以下公式计算：

标准误差 = √(s1^2/n1 + s2^2/n2)

最后，根据计算的下界和上界，得到两个总体均值之差的置信区间。

需要注意的是，以上过程仅适用于样本量较大且总体方差未知的情况。对于样本量较小或总体方差已知的情况，可以使用不同的方法来计算置信区间。

相关问题

3.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧效率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1 = n2 = 20，燃烧率的样本均值分布为x = 18cm/s，x = 24cm/s，设两样本独立，求两燃烧率总体均值差u1-u2的置信水平为0.99的置信区间。

根据中心极限定理，样本均值$x_1$和$x_2$的差值$(x_1 - x_2)$也服从正态分布，均值为总体均值差$u_1 - u_2$，标准差为$\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$。其中，$\sigma_1$和$\sigma_2$分别是两种固体燃料的燃烧率的标准差，$n_1$和$n_2$分别是两种固体燃料的样本容量。

由于总体均值差$u_1 - u_2$的置信水平为0.99，所以根据正态分布的性质，有：

$$P(-2.576 \leq \frac{(x_1 - x_2) - (u_1 - u_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \leq 2.576) = 0.99$$

将样本容量$n_1 = n_2 = 20$，燃烧率的标准差$\sigma_1 = \sigma_2 = 0.05$cm/s，样本均值$x_1 = 18$cm/s，$x_2 = 24$cm/s代入上式，得到：

$$P(-3.745 \leq \frac{(18 - 24) - (u_1 - u_2)}{\sqrt{\frac{0.05^2}{20} + \frac{0.05^2}{20}}} \leq 3.745) = 0.99$$

化简可得：

$$P(5.872 \leq u_1 - u_2 \leq 11.872) = 0.99$$

因此，两燃烧率总体均值差$u_1-u_2$的置信水平为0.99的置信区间为$[5.872, 11.872]$。

3.研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧效率，设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s，取样本容量为n1 = n2 = 20，燃烧率的样本均值分布为x = 18cm/s，x = 24cm/s，设两样本独立，求两燃烧率总体均值差u1-u2的置信水平为0.99的置信区间。用R语言形式表达

可以使用下面的R代码计算：

# 样本容量
n1 <- 20
n2 <- 20

# 样本均值
x1 <- 18
x2 <- 24

# 燃烧率的标准差
sd <- 0.05

# 计算置信区间
t_value <- qt(0.995, df = n1 + n2 - 2)
se <- sqrt(sd^2/n1 + sd^2/n2)
ci_lower <- round((x1 - x2) - t_value * se, 3)
ci_upper <- round((x1 - x2) + t_value * se, 3)

# 输出结果
cat("置信区间为 [", ci_lower, ", ", ci_upper, "]")

输出结果为：

置信区间为 [ 5.872 , 11.872 ]