已知序列 （1）计算该序列DTFT的表达式，并画出N=10时的曲线； （2）编写MATLAB程序，利用FFT函数，计算N＝10时，序列x[k]的DTFT在的抽样值。利用hold函数，将抽样点画在的曲线上。

对于序列x[k] = 1, k = 0, 1, 2, ..., N-1，其DTFT可以表示为：

X(e^(jw)) = Σ(n=0 to N-1) x[n]e^(-jwn)

代入x[k] = 1，得

X(e^(jw)) = Σ(n=0 to N-1) e^(-jwn)

利用等比数列求和公式，可得

X(e^(jw)) = (1 - e^(-jwN))/(1 - e^(-jw))

接下来，我们可以用MATLAB来计算抽样值并绘制曲线。

MATLAB代码如下：

N = 10;
n = 0:N-1;
x = ones(1,N);
w = linspace(-pi,pi,1000);
X = (1 - exp(-1i*w*N))./(1 - exp(-1i*w));
X_sampled = fft(x)/N;
w_sampled = 2*pi/N * (0:N-1);

figure;
plot(w,abs(X));
hold on;
stem(w_sampled,abs(X_sampled),'r');
xlabel('w');
ylabel('|X(e^{jw})|');
title('DTFT of x[k] = 1');
legend('DTFT','Sampled DTFT');

在上面的代码中，我们首先定义序列x[k]和w，接着计算DTFT的抽样值X_sampled，以及抽样点对应的角频率w_sampled。最后用plot函数绘制DTFT曲线，用stem函数绘制抽样点。运行代码，可以得到N=10时的DTFT曲线和抽样点的图像。

相关问题

已知序列的x[k]，用matlab求该序列的DTFT的表达式X(ejw)

在MATLAB中，离散时间傅立叶变换（Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）通常用于将一维离散序列转换为复频率域表示。如果你有一个长度为\( N \)的离散序列 \( x[k] \)，其DTFT的表达式 \( X(e^{j\omega}) \) 可以通过`fft`函数计算出来，假设序列存储在向量`x`中。

DTFT公式的一般形式是：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{k=0}^{N-1} x[k] e^{-j\omega k} \]

在MATLAB中，你可以使用以下步骤来计算DTFT：

% 假设 x 是输入序列
x = [your_sequence]; % 用实际数据替换这里

% 计算DTFT
X = fft(x);

% 将结果转换到角度频率（radians per sample）
f = (0:(N-1)) * (2*pi/N); % 或者更精确地使用 'fftfreq'

% 获取幅度谱和相位谱（对于实数序列，幅度是对称的，相位是90度间隔）
[X_mag, X_phase] = angle(X);
X_mag = abs(X_mag); % 取绝对值得到幅度

% 现在 X_mag 是对角线上的频率响应，X_phase 是相位响应
% 在需要时，可以绘制它们作为函数 of f

这里的`X`是一个复数数组，包含了幅度信息和相位信息。`f`是对应的频率轴。注意，由于MATLAB的FFT是基于偶数长度的序列，如果序列长度不是2的幂，可能需要先填充零或者调整处理方式。

matlab实现反dtft

### 实现反离散时间傅里叶变换（IDTFT）在MATLAB中的方法

为了实现在MATLAB中执行反离散时间傅里叶变换(IDTFT)，可以采用数值积分的方式近似计算逆变换。由于直接解析求解可能较为复杂，通常会利用快速傅立叶变换(FFT)算法来间接实现这一过程。

对于给定的频域函数 \(X(e^{j\omega})\) ，其对应的时域序列可以通过以下方式获得：

\[ x[n]= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{jn\omega}d\omega \]

然而，在实际编程环境中更常用的是通过离散化上述连续表达式并应用DFT/IFFT来进行逼近处理[^1]。

下面是一个简单的MATLAB代码片段用于展示如何基于IFFT完成此操作:

% 假设已知频率响应H(w), w是从-pi到pi范围内的向量
w = linspace(-pi, pi, N); % 定义角频率轴N为样本数量
H_w = ...;               % 频率响应数据填充此处

% 将线性的角度坐标转换成周期性形式以便于使用ifft()
H_z = fftshift(H_w);

% 执行逆快速傅里叶变换得到时域信号
h_n = ifft(ifftshift(H_z));

% 显示结果
stem(real(h_n));
title('Time Domain Signal');
xlabel('Sample Index n');
ylabel('Amplitude');

值得注意的是，这里假设输入\( H(\omega)\) 已经被均匀采样，并且长度适合做FFT运算。如果原始问题是关于波形方程或其他特定应用场景，则需调整具体参数设置以适应实际情况[^2]。