已知序列 （1）计算该序列DTFT的表达式，并画出N=10时的曲线； （2）编写MATLAB程序，利用FFT函数，计算N＝10时，序列x[k]的DTFT在的抽样值。利用hold函数，将抽样点画在的曲线上。

对于序列x[k] = 1, k = 0, 1, 2, ..., N-1，其DTFT可以表示为：

X(e^(jw)) = Σ(n=0 to N-1) x[n]e^(-jwn)

代入x[k] = 1，得

X(e^(jw)) = Σ(n=0 to N-1) e^(-jwn)

利用等比数列求和公式，可得

X(e^(jw)) = (1 - e^(-jwN))/(1 - e^(-jw))

接下来，我们可以用MATLAB来计算抽样值并绘制曲线。

MATLAB代码如下：

N = 10;
n = 0:N-1;
x = ones(1,N);
w = linspace(-pi,pi,1000);
X = (1 - exp(-1i*w*N))./(1 - exp(-1i*w));
X_sampled = fft(x)/N;
w_sampled = 2*pi/N * (0:N-1);

figure;
plot(w,abs(X));
hold on;
stem(w_sampled,abs(X_sampled),'r');
xlabel('w');
ylabel('|X(e^{jw})|');
title('DTFT of x[k] = 1');
legend('DTFT','Sampled DTFT');

在上面的代码中，我们首先定义序列x[k]和w，接着计算DTFT的抽样值X_sampled，以及抽样点对应的角频率w_sampled。最后用plot函数绘制DTFT曲线，用stem函数绘制抽样点。运行代码，可以得到N=10时的DTFT曲线和抽样点的图像。

相关问题

已知序列 x(n)=R4(n)，利用 Matlab 画出该序列的 DTFT 和 8 点和 16 点 DFT。

已知序列 \(x(n) = R_4(n)\)，这是一个长度为 4 的循环卷积序列，其表达式通常意味着序列里每个元素取值为 \(\pm 1\) 的序列，如 [1, -1, 1, -1] 或 [-1, 1, -1, 1]。

在 MATLAB 中画出这个序列的 Discrete-Time Fourier Transform (DTFT) 可以使用 `fft` 函数，因为 MATLAB 提供了一个默认的连续时间傅立叶变换函数，但在实际应用中我们一般会对离散信号取样点进行处理。对于有限长序列，我们需要取样并计算 Discrete Fourier Transform (DFT)。

首先，我们需要创建一个向量表示 \(x(n)\)：

n = 0:3;       % 生成0到3的序列，对应于原序列
x = [1, -1, 1, -1];  % 循环序列

% 对于8点DFT
X_8pt = fft(x, 8);   % DFT计算
f_8pt = (0:length(X_8pt)-1)*pi/length(X_8pt);   % 采样频率点

% 对于16点DFT
X_16pt = fft(x, 16);  % 计算16点DFT
f_16pt = (0:length(X_16pt)-1)*pi/length(X_16pt);

% 画图
figure;
subplot(2,1,1);
plot(f_8pt, abs(X_8pt), 'o', 'MarkerSize', 10);
title('8点DFT');
xlabel('频率 (rad)');
ylabel('|X[k]|');

subplot(2,1,2);
plot(f_16pt, abs(X_16pt), 'o', 'MarkerSize', 10);
title('16点DFT');
xlabel('频率 (rad)');

这将分别展示8点和16点DFT的结果，注意DTFT在实际场景下通常是理论讨论的对象，对有限长序列来说，DFT更常用并且直观地显示频域信息。

已知序列的x[k]，用matlab求该序列的DTFT的表达式X(ejw)

在MATLAB中，离散时间傅立叶变换（Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）通常用于将一维离散序列转换为复频率域表示。如果你有一个长度为\( N \)的离散序列 \( x[k] \)，其DTFT的表达式 \( X(e^{j\omega}) \) 可以通过`fft`函数计算出来，假设序列存储在向量`x`中。

DTFT公式的一般形式是：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{k=0}^{N-1} x[k] e^{-j\omega k} \]

在MATLAB中，你可以使用以下步骤来计算DTFT：

% 假设 x 是输入序列
x = [your_sequence]; % 用实际数据替换这里

% 计算DTFT
X = fft(x);

% 将结果转换到角度频率（radians per sample）
f = (0:(N-1)) * (2*pi/N); % 或者更精确地使用 'fftfreq'

% 获取幅度谱和相位谱（对于实数序列，幅度是对称的，相位是90度间隔）
[X_mag, X_phase] = angle(X);
X_mag = abs(X_mag); % 取绝对值得到幅度

% 现在 X_mag 是对角线上的频率响应，X_phase 是相位响应
% 在需要时，可以绘制它们作为函数 of f

这里的`X`是一个复数数组，包含了幅度信息和相位信息。`f`是对应的频率轴。注意，由于MATLAB的FFT是基于偶数长度的序列，如果序列长度不是2的幂，可能需要先填充零或者调整处理方式。