试求球x²+ y²+ z²=1和平面x+ y+z=1相交的交线所围成的面积

设球面方程为 $x^2+y^2+z^2=1$，则球心在原点 $(0,0,0)$，半径为 $r=1$。平面方程为 $x+y+z=1$。

将平面方程中 $z$ 解出，得 $z=1-x-y$，代入球面方程得到

$$x^2+y^2+(1-x-y)^2=1$$

化简得到

$$x^2+y^2-2x-2y+1=0$$

再次化简，得到

$$(x-1)^2+(y-1)^2=1$$

这是一个以 $(1,1)$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆。因此，球面和平面的交线为该圆与平面的交线。

由于该圆心在平面上，因此该圆与平面的交线为圆的切线。可以通过求圆的切点，计算出圆与平面的交线。

圆的切点可以通过求解以下方程组得到：

$$\begin{cases}x+y=2\\(x-1)^2+(y-1)^2=1\end{cases}$$

解得两个切点为 $(\frac{3}{2},\frac{1}{2},0)$ 和 $(\frac{1}{2},\frac{3}{2},0)$。

由于圆在 $z=0$ 平面上方，因此交线为一条弧线，其两端点为上述两个切点。

求出这条弧线的长度，即为所求面积。

可以通过计算圆心角来求出该弧线的长度。圆心角为

$$\theta=2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{2}$$

弧线长度为

$$L=r\theta=\frac{\pi}{2}$$

因此，球面和平面的交线所围成的面积为 $\frac{\pi}{2}$。