为什么最坏情况为线性时间的选择算法大于期望为线性时间的选择算法

首先，需要明确的是，最坏情况为线性时间的选择算法和期望为线性时间的选择算法都是线性时间复杂度的算法，它们的时间复杂度都为O(n)。

但是，最坏情况为线性时间的选择算法在最坏情况下的时间复杂度为O(n)，而期望为线性时间的选择算法在最坏情况下的时间复杂度可能会退化为O(nlogn)。

这是因为，最坏情况为线性时间的选择算法在每次划分中都能够将待选择的元素划分为两个规模相近的子集，因此在最坏情况下也能保证线性时间复杂度。

而期望为线性时间的选择算法在每次划分中，虽然也是将元素划分为两个子集，但是并不能保证这两个子集的规模相等。在某些情况下，可能会出现划分后一个子集的规模很小，而另一个子集的规模很大的情况，这就会导致算法的时间复杂度退化为O(nlogn)。

因此，最坏情况为线性时间的选择算法在一些极端情况下，可能比期望为线性时间的选择算法更加稳定和可靠。

相关问题

为什么最坏情况为线性时间的选择算法运行时间大于期望为线性时间的选择算法

最坏情况为线性时间的选择算法是指在最坏情况下，选择算法的时间复杂度为O(n)，其中n是输入元素的个数。而期望为线性时间的选择算法是指在平均情况下，选择算法的时间复杂度为O(n)。

最坏情况为线性时间的选择算法可能出现在选择的元素是数组中的最小或最大元素时，或者数组已经按照某种顺序排好序，需要遍历整个数组才能找到第k小的元素。而期望为线性时间的选择算法使用了随机化的方法，保证了在平均情况下，选择的元素具有一定的随机性，从而可以在平均时间复杂度为O(n)的情况下找到第k小的元素。

因此，最坏情况为线性时间的选择算法的时间复杂度可能达到O(n)，而期望为线性时间的选择算法的时间复杂度在平均情况下为O(n)，因此期望为线性时间的选择算法的运行时间一般会比最坏情况为线性时间的选择算法更快。

用c++实现最坏情况下为线性时间的选择算法

好的，让我来回答你的问题。

选择算法是一种在未排序的数组中查找第k小元素的算法。最差情况下，选择算法的时间复杂度是O(n^2)。但是，我们可以使用随机化算法将其优化到O(n)。

这里介绍一种最坏情况下为线性时间的选择算法——中位数的中位数算法（Median of Medians Algorithm）。

该算法的基本思想是将数组分成大小为5的小组，并找到每个小组的中位数。然后，递归地找到这些中位数的中位数（即第n/2小的元素），并将其作为主元素。接着，通过主元素将数组分成两个子数组，其中一个子数组包含所有小于主元素的元素，另一个子数组包含所有大于主元素的元素。然后，根据k与主元素的大小关系，在其中一个子数组中递归查找第k小的元素。

这个算法的时间复杂度为O(n)，但是实际上，常数项比较大，因此在实际应用中，可能不如QuickSelect算法效率高。

以下是C++代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

int findMedian(vector<int>& arr, int left, int right) {
    sort(arr.begin() + left, arr.begin() + right + 1);
    return arr[(left + right) / 2];
}

int partition(vector<int>& arr, int left, int right, int pivot) {
    while (left <= right) {
        while (arr[left] < pivot) left++;
        while (arr[right] > pivot) right--;
        if (left <= right) {
            swap(arr[left], arr[right]);
            left++;
            right--;
        }
    }
    return left;
}

int findKthSmallest(vector<int>& arr, int left, int right, int k) {
    if (k > 0 && k <= right - left + 1) {
        int n = right - left + 1;
        int i;
        vector<int> median((n + 4) / 5);
        for (i = 0; i < n / 5; i++) {
            median[i] = findMedian(arr, left + i * 5, left + i * 5 + 4);
        }
        if (i * 5 < n) {
            median[i] = findMedian(arr, left + i * 5, left + i * 5 + n % 5 - 1);
            i++;
        }
        int medianOfMedians = (i == 1) ? median[i - 1] : findKthSmallest(median, 0, i - 1, i / 2);
        int pos = partition(arr, left, right, medianOfMedians);
        if (pos - left == k - 1) return arr[pos];
        if (pos - left > k - 1) return findKthSmallest(arr, left, pos - 1, k);
        return findKthSmallest(arr, pos + 1, right, k - pos + left - 1);
    }
    return INT_MAX;
}

int main() {
    vector<int> arr = { 12, 3, 5, 7, 4, 19, 26 };
    int n = arr.size();
    int k = 3;
    cout << "K'th smallest element is "
         << findKthSmallest(arr, 0, n - 1, k);
    return 0;
}

以上代码实现了一个在最坏情况下为线性时间的选择算法，可以在O(n)的时间复杂度内查找未排序数组中的第k小元素。