500*500的土地上已经种植了一些树，树的位置已知，问在满足树冠不超过边界，且每棵树位置相距5米的条件下最多还能种多少树，建立数学模型，给出matlab程序

假设树冠占地面积为圆形，且半径为 $r$，则每个树之间的最小距离为 $d=2r+5$。将土地划分为 $500 \times 500$ 个小正方形，每个小正方形的边长为 $d$，则可以将每个树的位置映射到对应的小正方形中心。因此问题转化为在小正方形中最多能放置多少个圆，且圆半径为 $(d-5)/2$。

将小正方形的位置抽象为平面直角坐标系中的点，每个小正方形中心为对应点的坐标，圆半径为 $r_{\text{circle}}=(d-5)/2$。我们可以使用蒙特卡罗模拟法来求解，具体步骤如下：

1. 生成 $n$ 个随机点，每个点的坐标为 $(x_i,y_i)$，其中 $x_i,y_i$ 均为 $d$ 的倍数，$1 \leq i \leq n$。

2. 对于每个随机点 $(x_i,y_i)$，判断其是否可以放置圆。若该点没有被其他圆占据，则该点可以放置圆。否则继续尝试下一个点。

3. 将能放置圆的点标记为占据状态，记录占据的个数 $m$。

4. 重复步骤 1-3，直到无法放置更多的圆。

5. 最终得到的 $m$ 即为最多能种植的树的数量。

下面是 MATLAB 代码实现：

% 土地大小为 500*500，每个小正方形的边长为 d=2r+5=15
d = 15; 
% 圆半径
r_circle = (d-5)/2;
% 土地上已经种植的树的位置（假设已知）
tree_pos = [...]; % 每行为一个树的坐标 [x,y]
% 将树的位置映射到小正方形中心的坐标
tree_pos = ceil(tree_pos/d)*d-d/2;
% 土地上小正方形的位置
x = 1:d:500;
y = 1:d:500;
% 能放置圆的点的数量
m = 0;
% 蒙特卡罗模拟
while true
    % 生成随机点
    n = length(x)*length(y); % 小正方形的个数
    rand_pos_x = repmat(x,1,length(y));
    rand_pos_y = reshape(repmat(y,length(x),1),1,n);
    rand_pos = [rand_pos_x' rand_pos_y'];
    % 判断每个随机点是否能放置圆
    for i = 1:n
        flag = true;
        for j = 1:size(tree_pos,1)
            if norm(rand_pos(i,:)-tree_pos(j,:)) < r_circle
                flag = false;
                break;
            end
        end
        if flag
            m = m + 1;
            tree_pos = [tree_pos; rand_pos(i,:)];
        end
    end
    % 若无法放置更多圆，则结束模拟
    if m >= n
        break;
    end
end

disp(['最多能种植的树的数量为：' num2str(size(tree_pos,1))]);