OFDM调制解调的原理公式推导

OFDM调制解调的原理可以简单地概括为将一个宽带信号分成多个窄带子信号，然后在每个子信号上进行独立的调制和解调，最后将这些子信号合并成一个宽带信号。下面我们来逐步推导OFDM调制解调的公式。

首先，我们将要传输的数字信号表示为 $s(t)$，它的傅里叶变换为 $S(f)$。我们假设信道的频率响应为 $H(f)$，则接收到的信号可以表示为：

$$r(t) = s(t) * h(t) + n(t)$$

其中，$*$ 表示卷积，$n(t)$ 表示加性高斯白噪声。

为了方便处理，我们将信号分割为 $N$ 个子信号，每个子信号的带宽为 $B/N$，其中 $B$ 表示信号的总带宽。然后，我们将 $s(t)$ 分别经过 $N$ 个带通滤波器，得到 $N$ 个子信号：

$$s_i(t) = s(t) \cdot g_i(t)$$

其中 $g_i(t)$ 表示第 $i$ 个子信号的带通滤波器的冲激响应。每个子信号的傅里叶变换为 $S_i(f)$。

接下来，我们对每个子信号进行调制。我们采用的是正交调制，即将每个子信号分别与一个正交基 $e^{j2\pi (i-1)(n-1)/N}$ 相乘后相加。这样可以保证每个子信号之间正交，避免了多径干扰。正交基的选择需要满足以下两个条件：

1. 正交：任意两个正交基的内积为0

2. 归一化：每个正交基的模长为1

我们可以选择 $e^{j2\pi (i-1)(n-1)/N}$ 作为正交基，其中 $i$ 表示第 $i$ 个子信号，$n$ 表示第 $n$ 个采样点。经过正交调制后，第 $i$ 个子信号变为：

$$s_i'(t) = s_i(t) \cdot e^{j2\pi (i-1)(n-1)/N} = s_i(t) \cdot e^{j2\pi (n-1) \cdot (i-1)/N}$$

则第 $i$ 个子信号的频域信号为：

$$S_i'(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s_i'(t) e^{-j2\pi f t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} s_i(t) e^{j2\pi (-f + (i-1)B/N) t} dt$$

我们可以看到，经过正交调制后，每个子信号的频率偏移了 $(i-1)B/N$。这样，我们就将一个宽带信号分成了 $N$ 个窄带子信号，每个子信号的带宽为 $B/N$，并且每个子信号之间正交。

接下来，我们将每个子信号分别进行调制。这里假设我们采用的是 $M$ 段相位偏移键控调制（M-PSK）。

对于第 $i$ 个子信号，我们将其调制为：

$$s_{i,k}'(t) = s_i'(t) \cdot \sqrt{\frac{2}{M}} \cdot cos(2\pi f_c t + \frac{2\pi(k-1)}{M})$$

其中 $k$ 表示第 $k$ 种相位偏移，$f_c$ 表示载波频率。

经过调制后，第 $i$ 个子信号变为：

$$s_{i,k}(t) = s_{i,k}'(t) + n_{i,k}(t)$$

其中 $n_{i,k}(t)$ 表示加性高斯白噪声。

接下来，我们将每个子信号的频域信号表示为：

$$S_{i,k}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s_{i,k}(t) e^{-j2\pi f t} dt$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} s_{i}'(t) e^{-j2\pi f t} dt + \int_{-\infty}^{\infty} n_{i,k}(t) e^{-j2\pi f t} dt$$

$$= \frac{S_i'(f-f_c)}{2} \cdot e^{j2\pi(k-1)/M} + N_{i,k}(f)$$

其中 $N_{i,k}(f)$ 表示加性高斯白噪声的频域信号。

我们可以看到，经过调制后，第 $i$ 个子信号的频域信号是由多个相位偏移的正弦波组成的，每个相位偏移对应一个子载波。这些子载波之间仍然是正交的。

接下来，我们将每个子信号的频域信号通过反傅里叶变换转换回时域信号。对于第 $i$ 个子信号，我们有：

$$s_{i,k}(t) = \sum_{n=0}^{N-1} S_{i,k}(f_n) \cdot e^{j2\pi f_n (t-(i-1)T/N)}$$

其中 $T$ 表示信号的时长，$f_n = (n-1)B/N - B/2$ 表示第 $n$ 个子载波的频率。由于每个子载波之间正交，因此可以通过在时域对每个子载波进行采样得到原始数字信号 $s(t)$。

对于解调过程，我们可以将接收到的信号通过FFT变换得到每个子信号的频域信号 $R_{i,k}(f)$，然后对每个子信号的频域信号进行解调得到 $S_{i,k}(f)$，最后将每个子信号的频域信号合并成一个宽带信号的频域信号 $S(f)$。最后，我们可以通过IFFT变换将信号从频域转换回时域，得到解调后的数字信号 $s(t)$。