已知f(x)在(-∞，+∞)上有各阶导数，f(x)在任意取定点x₀处的泰勒级数在 (-∞,+∞)上都收敛于f(x),若 ⁽ⁿ⁾ f(1)=1,f⁽ⁿ⁾(1)=n+1, n=1,2,3,…. 求f(0)及 ⁽ⁿ⁾ f⁽ⁿ⁾(0),

根据泰勒公式，对于任意的实数x，存在一个实数ξ介于0和x之间，使得：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + R_n(x)$$

其中，$R_n(x)$是余项，满足：

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$$

因为f(x)在任意取定点x₀处的泰勒级数在(-∞,+∞)上都收敛于f(x)，所以对于任意的实数x，都有$\lim_{n \to \infty}R_n(x)=0$。

因此，当x=1时，有：

$$f(1)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}1^n$$

即：

$$f(1)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$

$$f(1)=f(0)+f'(0)+\frac{f''(0)}{2!}+\frac{f'''(0)}{3!}+\cdots$$

又已知$f'(1)=1,f''(1)=2,f'''(1)=3,\cdots$，代入上式得：

$$1=f(0)+f'(0)+\frac{f''(0)}{2!}+\frac{f'''(0)}{3!}+\cdots$$

因此，$f(0)=1-f'(0)-\frac{f''(0)}{2!}-\frac{f'''(0)}{3!}-\cdots$。

对于任意正整数n，有：

$$f^{(n)}(0)=\frac{n+1}{1!}+\frac{n+2}{2!}+\frac{n+3}{3!}+\cdots$$

$$f^{(n)}(0)=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{k+1}{(k-n+1)!}$$

因此，$f^{(n)}(0)$是一个无穷级数，但是这个级数是收敛的。具体证明略。

因此，$f(0)=1-f'(0)-\frac{f''(0)}{2!}-\frac{f'''(0)}{3!}-\cdots$，$f^{(n)}(0)=\sum_{k=n}^{\infty}\frac{k+1}{(k-n+1)!}$。