如何根据s平面到z平面的映射关系，进行稳定性分析和频率特性分析？请结合《复根极点：s平面到z平面的映射解析》一书，提供详细的分析步骤。

在数字信号处理和控制系统设计中，s平面到z平面的映射关系对于稳定性分析和频率特性分析至关重要。《复根极点：s平面到z平面的映射解析》这本书详细讲解了这一映射关系，为理解系统稳定性提供了宝贵的理论支持和实用技巧。

参考资源链接：[复根极点：s平面到z平面的映射解析](https://wenku.csdn.net/doc/1f5ikz35dk?spm=1055.2569.3001.10343)

稳定性分析步骤如下：
1. 在s平面中确定系统的极点位置。
2. 利用映射关系$s = z^{-1}e^{j\omega T}$，将s平面极点映射到z平面。
3. 在z平面上，根据极点位置判断系统稳定性。如果所有极点都位于单位圆内部，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。
4. 分析时，应特别注意s平面虚轴上的极点，它们映射到z平面的单位圆上，对应的系统在临界稳定状态。

频率特性分析步骤如下：
1. 分析s平面中的频率响应，确定系统在不同频率下的特性。
2. 应用s平面到z平面的映射关系，将频率响应转换为z平面的特性。
3. 分析z平面中的频率响应，特别关注主带和旁带的特性变化，这会影响到系统在采样后的滤波特性和频率响应。
4. 通过频率特性分析，可以设计合适的数字滤波器，优化系统的性能。

通过《复根极点：s平面到z平面的映射解析》提供的理论知识，你可以深入理解s平面和z平面之间的映射原理，以及如何在实际工程中应用这些知识来提高系统的稳定性和性能。

参考资源链接：[复根极点：s平面到z平面的映射解析](https://wenku.csdn.net/doc/1f5ikz35dk?spm=1055.2569.3001.10343)