压缩感知SPAMP算法

关于压缩感知中的SPAMP（Split and Match Pursuit）算法，该领域内并没有广泛认可的名为“SPAMP”的标准算法名称。可能是指特定研究或应用环境下的变体或者是表述上的差异。

### 压缩感知简介

压缩感知是一种信号处理技术，在远少于传统奈奎斯特采样率的情况下获取稀疏信号的有效表示方法[^2]。通过利用信号本身的结构化特性——即大部分自然信号在某些域上具有稀疏性或者可压缩性，从而实现高效的数据采集与重建过程。

### Split and Match Pursuit (SMP) 类似算法原理

虽然没有找到确切匹配 "SPAMP" 的定义，但是存在一种叫做 Split-and-Merge 或者类似的贪婪追踪算法家族成员如 CoSaMP, Subspace Pursuit 等，它们共同特点是迭代地选择最有可能属于原始信号支撑集的位置来逐步逼近真实解向量。这类算法通常包含以下几个核心步骤：

- 初始化残差等于测量值；
- 在每次迭代过程中寻找当前最佳候选原子集合；
- 更新估计的支持位置并重构信号；
- 计算新的残差直至满足停止条件；

对于假设存在的 SPAMP 版本而言，其工作流程可能会涉及到将观测矩阵分裂成更小的部分分别处理后再汇总结果以提高计算效率或是改善性能指标。

### Python 实现示意

下面给出一个简化版基于OMP(Orthogonal Matching Pursuit 正交匹配追踪)框架下模拟上述思路的概念性代码片段:

import numpy as np
from scipy.sparse import rand

def omp(A, y, K):
    """正交匹配追踪简单版本"""
    residual = y.copy()
    support_set = []
    
    for _ in range(K):  # 设定最大迭代次数为K次
        corr = abs(np.dot(A.T, residual))
        new_index = np.argmax(corr)
        
        if new_index not in support_set:
            support_set.append(new_index)

        A_sub = A[:, support_set]
        alpha = np.linalg.lstsq(A_sub, y, rcond=None)[0]

        reconstructed_signal = np.zeros_like(y)
        reconstructed_signal[support_set] = alpha
        
        residual = y - np.dot(A_sub, alpha)
        
        if np.linalg.norm(residual) < 1e-6: break
    
    return reconstructed_signal


if __name__ == "__main__":
    n_samples = 128
    sparsity_level = 10
    measurement_matrix = rand(n_samples, n_samples).toarray()

    true_signal = np.random.randn(n_samples)
    indices = np.random.choice(range(len(true_signal)), size=n_samples-sparsity_level, replace=False)
    true_signal[indices] = 0.

    measurements = np.dot(measurement_matrix, true_signal)

    recovered_signal = omp(measurement_matrix, measurements, sparsity_level)

    print(f'Original Signal:\n{true_signal}')
    print(f'Recovered Signal:\n{recovered_signal}')

此段代码展示了如何使用 OMP 方法从线性变换后的数据恢复出原信号的一个例子。请注意这只是一个教学用途的例子，并未针对任何具体应用场景优化参数设置或考虑实际硬件限制等因素。