如果无向完全图G中有45条边，则G的生成树有多少条边

时间: 2024-03-31 17:35:56 浏览: 303

利用找环去边法求最小生成树的算法探析.docx

### 利用找环去边法求最小生成树的算法探析 #### 一、引言在构建通信网络、交通系统或供水管线等实际应用中，常常需要解决如何以最低的成本来连接多个节点（例如城市）的问题。这类问题可以抽象为在连通网中寻找最小生成树的问题。本文基于一篇学术论文《利用找环去边法求最小生成树的算法探析》，探讨了如何通过找环去边的方法高效地找到最小生成树。 #### 二、连通图的生成树 ##### 1. 相关概念 - **环秩**：无向连通图\( G(n,m) \)的环秩定义为\( m-n+1 \)。 - **生成树**：指一个连通图\( G(n,m) \)的极小连通子图，含有图中所有\( n \)个顶点，但仅有\( n-1 \)条边构成一棵树。 - **性质**：一个\( n \)个顶点的生成树恰好有\( n-1 \)条边；如果一个图中顶点数为\( n \)而边数少于\( n-1 \)，则该图是非连通的；若一个图的顶点数为\( n \)而边数多于\( n-1 \)，则图中必然存在环。 - **最小生成树**：在一个有\( n \)个顶点的连通网中，其生成树中\( n-1 \)条边的权值之和最小的生成树。 ##### 2. 连通图的生成树构造算法算法步骤如下： 1. 初始化：令当前图\( G \)为原始图\( G(n,m) \)，设置迭代计数器\( i \)为1。 2. 判断：如果当前图\( G_i \)不含环，则得到的图\( G_i \)即为生成树\( T \)，算法结束；否则，进入下一步。 3. 找环：在当前图\( G_i \)中找到任意一个环\( C_i \)，从环\( C_i \)中删除任意一条边\( e_i \)，得到新的图\( G_{i+1} \)。 4. 更新：增加迭代计数器\( i \)，返回第二步。此算法确保了每次迭代都能减少当前图的环秩至少1，直至最终得到一个不含环的图，即生成树\( T \)。 #### 三、连通网的最小生成树 ##### 1. 最小生成树构造算法连通网的最小生成树构造算法与连通图的生成树构造算法类似，但在选择删除边时考虑边的权值大小，以确保生成树的总权值最小。算法步骤如下： 1. 初始化：令当前图\( G \)为原始图\( G(n,m,w) \)，设置迭代计数器\( i \)为1。 2. 判断：如果当前图\( G_i \)不含环，则得到的图\( G_i \)即为最小生成树\( T \)，算法结束；否则，进入下一步。 3. 找环：在当前图\( G_i \)中找到任意一个环\( C_i \)，从环\( C_i \)中删除权重最大的一条边\( e_i \)，得到新的图\( G_{i+1} \)。 4. 更新：增加迭代计数器\( i \)，返回第二步。 ##### 2. 定理证明为了证明通过上述算法得到的树\( T \)确实是连通网\( G \)的最小生成树，我们需要验证树\( T \)与任何最小生成树\( T' \)的权值相同。设\( G \)的边集为\( E(G) \)，边的权重集合为\( w(E(G)) \)，树\( T \)的边集为\( E(T) \)，边的权重集合为\( w(E(T)) \)。 - **假设**：假设\( T' \)是\( G \)的一个最小生成树，且\( T' \)的边集为\( E(T') \)，边的权重集合为\( w(E(T')) \)。 - **证明思路**：如果\( T \)与\( T' \)完全相同，则\( T \)显然是最小生成树；如果\( T \)与\( T' \)不同，那么在\( T \)中至少有一条边\( e \in E(T) \)不在\( E(T') \)中。将\( e \)添加到\( T' \)中，会在\( T' \)中形成一个新的环\( C \)。根据算法设计，每次删除的是环中权重最大的边，因此在形成环\( C \)的过程中，\( T' \)中被删除的边一定是权重不小于\( e \)的边。如此反复操作，直到\( T' \)与\( T \)边集相同，可以证明\( T \)与\( T' \)的权值相同。 #### 四、结论本文通过找环去边的方法，提出了一种构造最小生成树的有效算法。这种方法不仅适用于理论研究，在实际应用中也非常有用，尤其是在需要优化网络结构和成本的情况下。通过对连通网特征的深入分析和算法的设计与实现，能够有效地解决实际问题中的最小生成树问题。

无向完全图 G 中有 n 个节点，则 G 中的边数为 n(n-1)/2。若 G 有 45 条边，则 n(n-1)/2=45，解得 n=10。在一个无向完全图中，任意 n 个节点的生成树的数量为 n^(n-2)。因此，在这个无向完全图 G 中，生成树的边数为 9，即生成树的数量为 10^(8-2)=10^6。

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如果无向完全图G中有45条边，则G的生成树有 多少条边

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