求常微分方程的数值解

求解常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的数值解是科学计算和工程领域中的一个重要任务，因为微分方程通常无法通过解析方法得到精确解。数值方法提供了近似但可靠的解，特别是在实际问题中，如物理、经济模型或复杂系统动力学。

数值解法的主要步骤包括：
1. **离散化时间与空间**：将连续的时间变量划分为一系列离散点，并可能对空间变量进行网格化，这形成了时间步长（dt）和空间步长（dx）。
2. **初值问题定义**：提供初始条件，即在起始时刻t0处的函数值或导数值。
3. **代数化表示**：通过牛顿-欧拉公式或其他方法，将微分方程转化为一系列关于离散点的代数方程组。
4. **迭代算法**：使用方法如欧拉法、龙格-库塔方法（如四阶Runge-Kutta）、辛普森法等，在每个时间步长上更新状态。
5. **循环执行**：反复进行上述步骤，直到达到目标时间点或满足精度要求。

常用的数值方法有：
- **Euler方法**：最简单的数值方法，但精度较低。
- **Runge-Kutta方法**：包括二阶的Heun方法，四阶的RK4，以及高阶的Fehlberg方法，精度相对更高。
- **Adams-Bashforth-Moulton方法**：一种混合型方法，结合了预报和校正的思想。