直流无刷电机传数学函数

### 直流无刷电机的数学模型与控制算法

#### 电压方程
对于直流无刷电机（BLDC），其稳态电压方程可以表示为：

\[ v_a = R_a i_a + L_a \frac{di_a}{dt} + e_b(t) \]

其中 \(v_a\) 是相绕组端电压，\(R_a\) 和 \(L_a\) 分别代表电阻和电感，而 \(e_b(t)\) 表示反电动势[^1]。

#### 磁链方程
磁链方程描述了通过线圈产生的磁场强度随时间变化的情况。对于三相永磁同步电机而言，磁链可由下式给出：

\[ λ_f = Φ_{pm} N_w I_q \]

这里 \(Φ_{pm}\) 是永久磁铁通量密度，\(N_w\) 是每极下的有效匝数，\(I_q\) 则是在d-q坐标系中的q轴分量电流值。

#### 转矩方程
转矩方程用于表达机械输出力矩与电气输入之间的关系，在理想情况下有如下形式：

\[ T_e = K_t * (i_d sin(θ_m)+i_q cos(θ_m)) \]

这里的 \(K_t\) 称作扭矩常数；\((i_d,i_q)\) 对应dq0变换后的直交两轴上的瞬时电流；\(θ_m\) 指的是转子位置角[^2]。

#### 控制算法概述
为了实现高效稳定的调速过程，通常会应用双闭环结构——即内层负责调节电流大小以维持期望水平，外层则专注于保持设定的速度不变。具体来说，速度环选用离散比例积分微分(PID)控制器来调整给定目标值同实际测量反馈间差异；至于内部电流管理，则依据滞环比较机制驱动脉宽调制(PWM)信号发生器工作，从而达到精确操控目的[^3]。

% MATLAB PID Controller Example Code Snippet
function u = pidController(e, kp, ki, kd)
    % Initialize variables for integral and derivative terms.
    persistent int_e prev_e;
    
    if isempty(int_e), int_e = 0; end
    if isempty(prev_e), prev_e = 0; end
    
    % Calculate proportional term.
    p_term = kp * e;

    % Update integral term with anti-windup protection.
    int_e = int_e + ki * e;
    max_int = 1 / ki; min_int = -max_int;
    int_e = min(max(int_e,min_int),max_int);

    % Compute derivative term using backward difference approximation.
    d_term = kd * (e - prev_e);
    
    % Store current error as previous one before returning control signal.
    prev_e = e;
    
    % Sum up all three components to get final output.
    u = p_term + int_e + d_term;
end