matlab 怎么通过对冲激响应积分求阶越响应?
时间: 2023-05-21 14:06:15 浏览: 61
ChitGPT: 你可以使用matlab中的step函数来模拟系统的阶跃响应,或者使用lsim函数来模拟经过特定激励后的响应。如果需要通过对冲激响应积分求阶越响应,可以考虑使用matlab中的cumtrapz函数进行积分。
相关问题
matlab求单位冲激响应并用四种方法画图
假设你要求一个线性时不变系统的单位冲激响应,可以使用以下的四种方法:
1. 解微分方程
假设你知道系统的微分方程,可以通过输入一个单位冲激函数 $\delta(t)$,求解微分方程得到系统的单位冲激响应 $h(t)$。例如,对于一个一阶系统,微分方程为:
$$\frac{dh(t)}{dt}+a_1h(t)=\delta(t)$$
其中 $a_1$ 是常数。将 $\delta(t)$ 代入上式,可以得到:
$$\frac{dh(t)}{dt}+a_1h(t)=1$$
这是一个一阶常微分方程,可以通过求解得到:
$$h(t)=\frac{1}{a_1}e^{-a_1t}u(t)$$
其中 $u(t)$ 是单位阶跃函数。
2. 系统的频率响应
假设你知道系统的频率响应 $H(\omega)$,其中 $\omega$ 是角频率,可以通过傅里叶反变换得到系统的单位冲激响应 $h(t)$。具体地,有:
$$h(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}H(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$
其中 $j$ 是虚数单位。
3. 卷积
假设你知道系统的单位阶跃响应 $g(t)$,可以通过输入一个单位冲激函数 $\delta(t)$,计算系统的单位冲激响应 $h(t)$。具体地,有:
$$h(t)=\delta(t)*g(t)$$
其中 $*$ 表示卷积运算。
4. 逆Z变换
假设你知道系统的Z变换 $H(z)$,可以通过逆Z变换得到系统的单位冲激响应 $h(n)$。具体地,有:
$$h(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint H(z)z^{-n-1}dz$$
其中 $\oint$ 表示逆时针单位圆周积分。
画图的话,可以使用 Matlab 的 plot 函数。对于第一种方法,可以使用符号计算工具箱求解微分方程,并使用 ezplot 函数画图。对于第二种方法,可以使用 freqz 函数计算频率响应,并使用 plot 函数画图。对于第三种方法,可以使用 conv 函数计算卷积,并使用 plot 函数画图。对于第四种方法,可以使用 iztrans 函数计算逆Z变换,并使用 stem 函数画图。
下面是一个 Matlab 代码示例,其中假设系统的微分方程为 $\frac{dh(t)}{dt}+0.5h(t)=\delta(t)$:
```matlab
syms t s
H = 1/(s+0.5); % 求解频率响应
h1 = ilaplace(H); % 求解单位冲激响应
figure;ezplot(h1,[0,10]); % 用 ezplot 画图
t = 0:0.01:10;
h2 = filter(1,[1 0.5],[1 zeros(1,length(t)-1)]); % 求解单位阶跃响应
h3 = conv(h2,[1 zeros(1,length(t)-1)]); % 求解单位冲激响应
figure;plot(t,h3(1:length(t))); % 用 plot 画图
H4 = 1/(z+0.5); % 求解Z变换
h4 = iztrans(H4); % 求解逆Z变换
n = 0:20;
figure;stem(n,h4(1:length(n))); % 用 stem 画图
```
用MATLAB中的留数求解RLC串联振荡电路的冲激响应与阶跃响应
假设RLC电路如下图所示:
![RLC电路](https://i.imgur.com/1RBUdY7.png)
根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律,可以得到如下微分方程:
$$L\frac{d^2}{dt^2}i(t)+R\frac{d}{dt}i(t)+\frac{1}{C}i(t)=v(t)$$
其中 $i(t)$ 表示电路中电流的变化, $v(t)$ 表示电路中电压的变化。如果将上述微分方程应用拉普拉斯变换,可以得到:
$$Ls^2I(s)+RsI(s)+\frac{1}{C}I(s)=V(s)$$
其中 $I(s)$ 表示电路中电流的拉普拉斯变换, $V(s)$ 表示电路中电压的拉普拉斯变换。解出 $I(s)$ 可以得到电路的传递函数:
$$H(s)=\frac{I(s)}{V(s)}=\frac{1}{LCs^2+RCs+1}$$
根据留数定理,可以得到 $h(t)$ 的表达式:
$$h(t)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C} H(s) e^{st} ds$$
其中 $C$ 表示积分路径, $j$ 表示虚数单位。在实际计算中,可以选择将积分路径选为右半平面的虚轴,即 $s=\sigma+j\omega$,其中 $\sigma>0$。这样,积分路径可以表示为 $s=\sigma+j\omega_0 e^{j\theta}$,其中 $\omega_0$ 表示电路的共振频率, $\theta$ 表示相角。
对于冲激响应,可以令 $v(t)=\delta(t)$,得到拉普拉斯变换为 $V(s)=1$。代入传递函数中,可以得到:
$$H(s)=\frac{1}{LCs^2+RCs+1}$$
根据留数定理,可以得到冲激响应的表达式:
$$h(t)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C} H(s) e^{st} ds = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{\omega_0^2}{\sigma^2}}}e^{-\sigma t}\sin(\omega_0 t+\theta)u(t)$$
其中 $u(t)$ 表示单位阶跃函数。
对于阶跃响应,可以令 $v(t)=u(t)$,得到拉普拉斯变换为 $V(s)=\frac{1}{s}$。代入传递函数中,可以得到:
$$H(s)=\frac{1}{s(LCs^2+RCs+1)}$$
根据留数定理,可以得到阶跃响应的表达式:
$$h(t)=\frac{1}{2\pi j}\oint_{C} H(s) e^{st} ds = \frac{1}{L}\left(1-e^{-\frac{R}{2L}t}\cos(\omega_d t)-\frac{R}{2L}\sin(\omega_d t)\right)u(t)$$
其中 $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\frac{R^2}{4L^2}}$ 表示电路的阻尼角频率。