hessenberg qr迭代 matlab

Hessenberg QR迭代是一种基于Hessenberg矩阵的QR分解算法，可以用于计算矩阵的特征值和特征向量。在Matlab中，可以使用相关的函数hess和hqr来实现Hessenberg QR迭代算法。

相关问题

MATLAB实现Hessenberg QR迭代算法

Hessenberg QR迭代算法是一种用于计算实矩阵特征值和特征向量的算法，其主要思想是通过QR分解将矩阵不断转化为上Hessenberg矩阵，进而利用隐式Q定理求解特征值和特征向量。以下是MATLAB实现Hessenberg QR迭代算法的代码：

function [Q,H] = hessenbergQR(A)
% Hessenberg QR iteration for finding eigenvalues and eigenvectors
% Input:
%   A: a real matrix
% Output:
%   Q: the orthogonal matrix of eigenvectors
%   H: the upper Hessenberg matrix of eigenvalues
% Reference:
%   G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations, 4th Edition, 2013.

n = size(A,1);
Q = eye(n);
H = A;

for k = 1:n-2
    % zero out below the subdiagonal
    x = H(k+1:n,k);
    v = [sign(x(1))*norm(x);x(2:end)];
    v = v/norm(v);
    H(k+1:n,k:n) = H(k+1:n,k:n) - 2*v*(v'*H(k+1:n,k:n));
    H(1:n,k+1:n) = H(1:n,k+1:n) - 2*(H(1:n,k+1:n)*v)*v';
    Q(:,k+1:n) = Q(:,k+1:n) - 2*(Q(:,k+1:n)*v)*v';
end

% obtain the Schur form
for k = 1:n-1
    % perform QR decomposition
    [Qk,Rk] = qr(H(k:n,k:n));
    H(k:n,k:n) = Rk*Qk;
    Q(:,k:n) = Q(:,k:n)*Qk;
end
end

其中，函数输入为一个实矩阵A，输出为其特征值和特征向量构成的上Hessenberg矩阵H和对应的正交矩阵Q。在函数中，首先通过Householder变换将A转化为上Hessenberg矩阵，然后通过QR迭代将H转化为Schur矩阵，最后通过Q矩阵的累积乘积得到A的特征向量矩阵。

Hessenberg QR迭代计算特征值matlab代码

以下是使用Hessenberg QR迭代计算特征值的MATLAB代码：

function [eig_val, eig_vec] = hessenberg_qr_iteration(A, max_iter)
% Hessenberg QR迭代计算特征值和特征向量
n = size(A, 1);
eig_vec = eye(n);
for k = 1:max_iter
    % Hessenberg变换
    for i = n:-1:2
        x = A(i-1:i, i);
        [c, s] = givens(x(1), x(2));
        G = blkdiag(eye(i-2), c, s);
        A([i-1, i], :) = G * A([i-1, i], :);
        A(:, [i-1, i]) = A(:, [i-1, i]) * G';
        eig_vec(:, [i-1, i]) = eig_vec(:, [i-1, i]) * G';
    end
    % QR分解
    for i = 1:n-1
        [c, s] = givens(A(i, i), A(i+1, i));
        G = [c, s; -s, c];
        A(i:i+1, i:n) = G * A(i:i+1, i:n);
        A(:, i:i+1) = A(:, i:i+1) * G';
        eig_vec(:, i:i+1) = eig_vec(:, i:i+1) * G';
    end
    % 判断是否收敛
    if max(abs(diag(A, -1))) < eps
        break;
    end
end
eig_val = diag(A);
end

function [c, s] = givens(a, b)
% 计算Givens矩阵的元素
if b == 0
    c = 1;
    s = 0;
else
    if abs(b) > abs(a)
        t = -a / b;
        s = 1 / sqrt(1 + t^2);
        c = s * t;
    else
        t = -b / a;
        c = 1 / sqrt(1 + t^2);
        s = c * t;
    end
end
end

函数`hessenberg_qr_iteration`实现了Hessenberg QR迭代算法，可以计算矩阵的特征值和特征向量。函数`givens`计算Givens矩阵的元素。在迭代过程中，先将矩阵A通过Hessenberg变换转化为上Hessenberg矩阵，再通过QR分解求解特征值，直到满足收敛条件。在求解特征向量时，需要将每次变换得到的Givens矩阵乘到特征向量矩阵上，以保证特征向量的正确性。