编号为1…n的n个小朋友玩游戏，他们按编号顺时针围成一圈，按顺时针次序报数，从第1个人报到第m个人出列；然后再从下个人开始报到第m+1个人出列；再从下一个人开始报到第m+2个人出列……以此类推不断循环

### 回答1：
这是一个经典的约瑟夫问题。假设有n个小朋友，按照顺时针方向排列，从第一个小朋友开始报数，报到第m个小朋友出列，然后从下一个小朋友开始重新报数，报到第m+1个小朋友出列，以此类推，直到只剩下最后一个小朋友。

这个问题可以用递归或者数学公式来解决。递归的思路是，假设f(n,m)表示n个小朋友中，每次报数到第m个小朋友出列的最后一个小朋友的编号，那么f(n,m)可以通过f(n-1,m)得到，因为每次出列一个小朋友后，剩下的小朋友数量就变成了n-1，而报数的起点也会变化。具体实现可以参考以下代码：

int josephus(int n, int m) {
if (n == 1) {
return 0;
} else {
return (josephus(n - 1, m) + m) % n;
}
}

另一种解法是使用数学公式，可以得到f(n,m)的递推公式为：

f(n,m) = (f(n-1,m) + m) % n

其中，%表示取模运算。这个公式的意义是，假设f(n-1,m)表示n-1个小朋友中，每次报数到第m个小朋友出列的最后一个小朋友的编号，那么在n个小朋友中，每次报数到第m个小朋友出列的最后一个小朋友的编号就是(f(n-1,m) + m) % n。具体实现可以参考以下代码：

int josephus(int n, int m) {
int ans = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
ans = (ans + m) % i;
}
return ans;
}

这个算法的时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。

### 回答2：
这个游戏被称为“约瑟夫问题”，据说起源于古罗马时期。这个问题看似简单，实际上需要了解到循环链表和递归两个概念才能解决。

循环链表是一个首尾相连的链表，它的最后一个节点指向第一个节点，形成了一个环。在这个环上，我们可以按照顺时针或逆时针的方向进行遍历和访问。

递归是一种算法，可以通过调用自身来解决问题。在约瑟夫问题中，我们可以将它转化为一种递归思路。

现在，我们来分步解决这个问题：

1. 首先，我们需要构建一个循环链表，按照顺时针的方向将所有小朋友连接起来。

2. 接下来，我们需要编写一个函数，模拟每一轮游戏的过程。我们将函数命名为“Josephus”，它有三个参数：链表的头节点、当前轮数、出圈的编号。

3. 在函数中，我们需要根据当前轮数计算出第一个出圈的小朋友的编号，然后按照顺时针方向找到这个小朋友，将他从链表中删除。

4. 接着，我们需要将当前节点指向这个小朋友的下一个节点，然后再次调用“Josephus”函数，传入新的头节点、下一轮次数和出圈编号。这个递归过程会一直进行，直到链表中只剩下一个小朋友为止。

5. 最后，我们可以输出这个小朋友的编号，作为游戏的胜利者。

总的来说，约瑟夫问题需要一些算法思维和代码实现能力，但它其实是很有趣的一个问题。在实际编写代码的过程中，我们可以不断地修改和调试，逐步完善这个程序。

### 回答3：
这道题可以用模拟的方法进行解决。首先我们可以把这些小朋友看成是一个环形链表，每个小朋友都连接着前一个和后一个，最后一个小朋友则连接着第一个小朋友。

我们首先假设一开始所有小朋友都还在围成的这个环里面，然后我们从第一个小朋友开始进行循环：

1. 我们按照顺时针的顺序报数，如果报数为m，则这个小朋友就出列；否则他继续在圈内呆着。

2. 然后再从这个小朋友的下一个小朋友开始，按顺时针的顺序重新开始报数。如果报数为m-1，则他出列；否则他继续在圈内呆着。

3. 然后再从这个小朋友的下一个小朋友开始，继续按顺时针的顺序报数。这一次因为已经出列了两个小朋友，所以要报到第m-2个小朋友才可以出列。

4. 以此类推，直到所有小朋友都出列为止。

需要注意的是，在每次开始新一轮的报数之前，要先把当前出列的小朋友的前一个小朋友和后一个小朋友连接起来，形成一个新的环，然后再从下一个小朋友开始报数。

至于时间复杂度，可以看到我们每次要遍历完整个链表，所以时间复杂度是O(nm)。而空间复杂度则是O(n)，因为我们需要用一个链表来存储这些小朋友。