一个三角形两条高的长分别为 6cm 和 8cm，第三条高的长也是整数，则这样的整数有几个

根据三角形的性质，三条高都相交于三角形的重心，且重心将每条高分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。设第三条高的长度为h，根据题意可得以下等式：

6 = 2h
8 = 3h

解方程得到 h = 3。因此，第三条高的长度为3cm。由于题目要求第三条高的长度为整数，所以只有一个整数符合条件。因此，这样的整数只有一个。