实验二:有限域gf28上的加减乘除运算实现
有限域是指由有限个元素构成的域。在实验二中,我们研究了有限域GF(2^8)上的加减乘除运算实现方法。
有限域GF(2^8)由2的8次方个元素构成,其中每个元素可以表示为一个8位的二进制数,即一个字节。在加减乘除运算中,我们将这些字节看作是多项式,运算的结果也是一个多项式。
加法运算是有限域上最简单的运算,其实现方法是将两个多项式相应位上的二进制数进行异或操作,得到的结果就是加法的结果。
减法运算可以转化为加法运算,其实现方法是将减法转化为对应的加法:a-b=a+(-b),其中-b表示b的补码,即对b进行按位取反,再加1。
乘法运算可以通过多项式乘法来实现。乘法的基本原则是按照长除法的方法,将两个多项式相乘,并对结果进行模2除法运算,即舍弃最高位的进位。可利用多项式的位运算和异或操作实现。
除法运算也可以通过多项式除法来实现。除法的基本原则是将被除数和除数的高位系数相除,并将结果与除数的其他系数进行异或操作,然后再将结果与被除数的下一位系数进行异或运算,重复这个过程直到被除数系数全部运算完毕。
有限域GF(2^8)上的加减乘除运算是计算机网络和信息安全领域中重要的基础理论,对于数据加密、纠错编码等应用具有重要的意义。
有限域gf上的加减乘除运算实现 matlab
在Matlab中,可以通过使用多项式运算函数和特定的GF扩展工具箱来实现有限域(GF)上的加减乘除运算。下面是一个简单的示例:
% 创建GF域
gf_field = gf([1 0 1], 2); % 在GF(2)域上创建多项式x^2 + 1
% 定义GF域上的多项式
p1 = gf([1 1 0 1], gf_field); % 在gf_field上创建多项式x^3 + x + 1
p2 = gf([0 1 1], gf_field); % 在gf_field上创建多项式x^2 + x + 1
% 加法运算
add_result = p1 + p2;
% 减法运算
sub_result = p1 - p2;
% 乘法运算
mul_result = p1 * p2;
% 除法运算
div_result = p1 / p2;
% 输出结果
disp("加法运算结果:");
disp(add_result.coeffs);
disp("减法运算结果:");
disp(sub_result.coeffs);
disp("乘法运算结果:");
disp(mul_result.coeffs);
disp("除法运算结果:");
disp(div_result.coeffs);
在上述示例中,我们首先使用gf()
函数创建了GF域gf_field
,该域是一个GF(2)域,其多项式表示为x^2 + 1。
然后,我们使用gf()
函数再次创建了两个GF域上的多项式。在这个例子中,p1
表示x^3 + x + 1,p2
表示x^2 + x + 1。
接下来,我们使用+
、-
、*
和/
运算符进行加减乘除运算,得到了加减乘除的结果。
最后,使用disp()
函数输出了各个运算结果的系数。
需要注意的是,为了进行GF域上的运算,我们使用了专门的GF工具箱函数。这些函数可以从MathWorks官方网站下载并安装。另外,为了正确输出结果,我们使用了coeffs
属性来获取每个多项式的系数。
有限域的多项式模运算
有限域中的多项式模运算
方法与规则
在有限域中执行多项式的模运算是指,在给定的一个不可约多项式下,通过模该不可约多项式来简化其他多项式表达。具体来说:
模p加法和乘法:当涉及到两个多项式的加减或乘除操作时,每一项系数都应按模$p$处理,其中$p$是一个素数[^2]。
不可约多项式作为模:为了确保得到的结果仍然是同一个有限域上的成员,通常会选取一个特定次数的不可约多项式$f(x)$作为模。任何高于这个次数的多项式都需要被此不可约多项式整除后的余数所替代。
降幂替换法则:如果遇到高次幂$x^n (n≥deg(f))$的情况,则可以用较低阶项代替它。例如,如果有不可约多项式$f(x)=x^3+x+1$,那么每当看到$x^3$就可以替换成$(x+1)$;同理可得更高次幂的转换方式。
计算示例
假设在一个以$x^4 + x + 1$为模的GF(2)上做如下计算:
$$g_1(x)=(x^5 + x^3 + x), g_2(x)=(x^6 + x^4 + x^2 + 1).$$
要计算这两个多项式的积并对其结果取模$x^4 + x + 1$.
先不考虑模运算直接相乘,
from sympy import symbols, Poly
x = symbols('x')
poly1 = Poly((x**5 + x**3 + x))
poly2 = Poly((x**6 + x**4 + x**2 + 1))
product_poly = poly1 * poly2
print(product_poly.as_expr())
输出将是未化简前的形式(x^{11} + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3)。
现在应用模运算,
由于我们是在GF(2),所以可以直接利用二进制表示来进行异或(XOR)操作完成模运算过程。这里采用逐步降低指数的方法直到所有项都不大于三次方为止。
最终结果将会是某个不超过三度的多项式形式。
modulus = Poly(x**4 + x + 1)
reduced_product = product_poly % modulus
print(reduced_product.as_expr()) # 这里展示的是理论上的Python代码逻辑模拟实际的手动计算流程
实际上这段代码运行后给出的就是最后想要的答案——即原多项式乘积对指定模多项式取模之后的结果。