数据库系统 函数依赖 闭包

### 数据库系统中函数依赖的闭包概念

在数据库理论中，给定关系模式 \(r(R)\)，以及该模式上的函数依赖集\(F\)，对于任意属性子集\(A \subseteq R\)，其闭包\(A^{+}\)是指通过应用\(F\)中的所有函数依赖可以直接或间接推导出来的所有属性组成的集合[^2]。

### 计算函数依赖的闭包的方法

为了计算某个属性或属性组\(X\)的闭包\(X^{+}\)，遵循以下算法：

#### 初始化阶段
设初始状态下的闭包仅包含待求解的属性本身，即\(X^{+} := X\)[^1]。

#### 迭代扩展阶段
遍历整个函数依赖集\(F=\{FD_1, FD_2,...,FD_n\}\)，针对每一个未被处理过的函数依赖\(Y→Z\)执行如下操作：
- 如果当前已知闭包\(X^{+}\)包含了左侧的所有属性(\(Y \subseteq X^{+}\))，
- 则将右侧对应的属性加入到闭包中去(\(X^{+}=X^{+}∪Z\))。

重复上述迭代直到无法再找到新的可添加至闭包内的属性为止。此时得到的结果便是所求的闭包\(X^{+}\)。

def compute_closure(attributes, fd_set):
    closure = set(attributes)
    
    while True:
        new_attributes_added = False
        
        for dependency in fd_set:
            lhs, rhs = dependency.split('->')
            
            if all(attr.strip() in closure for attr in lhs.split(',')):
                for item in rhs.split(','):
                    stripped_item = item.strip()
                    
                    if stripped_item not in closure:
                        closure.add(stripped_item)
                        new_attributes_added = True
                        
        if not new_attributes_added:
            break
            
    return sorted(list(closure))

此Python代码实现了基于输入参数`attributes`(表示起始属性列表)`fd_set`(表示一系列形如"A -> B,C"形式字符串构成的函数依赖表达式数组)来计算并返回这些属性所能决定的最大范围——也就是它们共同形成的闭包。