按普利姆算法求无向带权图的最小生成树

普利姆算法是一种贪心算法，用于求解无向带权图的最小生成树。其基本思想是通过不断添加边来构建最小生成树，从一个顶点开始，每次选择与已经选定的顶点集合相邻的最小权值边所连的顶点，并将该顶点加入到已选定的顶点集合中，直到所有顶点都被加入到集合中为止。以下是普利姆算法的实现步骤：

1. 初始化：选择一个起始点 s 作为已选定的顶点集合，将其加入到集合中。

2. 从已选定的顶点集合中找到与其相邻的权值最小的边，将其所连的顶点加入到已选定的顶点集合中。

3. 重复步骤 2 直到所有顶点都被加入到集合中为止。

具体实现过程如下：

1. 选择一个起始点 s，将其加入到已选定的顶点集合中。

2. 从已选定的顶点集合中找到与其相邻的权值最小的边 (u,v)，将顶点 v 加入到已选定的顶点集合中，将边 (u,v) 加入到最小生成树的边集合中。

3. 对于已选定的顶点集合中的每个顶点 v，找到与其相邻的权值最小的边 (v,w)，如果顶点 w 不在已选定的顶点集合中，则将顶点 w 加入到已选定的顶点集合中，将边 (v,w) 加入到最小生成树的边集合中。

4. 重复步骤 3 直到所有顶点都被加入到集合中为止。

注意：在实现过程中需要使用优先队列来存储边，以便快速获取权值最小的边。

相关问题

利用C语言中的普利姆算法生成无向带权图的最小生成树

普利姆算法（Prim算法）是一种贪心算法，用于求解加权无向图的最小生成树。它的基本思想是从一个顶点开始，每次选择一条权值最小的边与已选的顶点集合相连，直到所有顶点都被选中为止。

下面是利用C语言实现普利姆算法生成无向带权图的最小生成树的代码：

#include<stdio.h>
#include<limits.h>

#define V 5  //顶点数
#define INF INT_MAX //无穷大

//找到未被包含在最小生成树中的最小权值的顶点
int minKey(int key[], int mstSet[])
{
    int min = INF, min_index;
    for(int i = 0; i < V; i++)
        if(mstSet[i] == 0 && key[i] < min)
            min = key[i], min_index = i;
    return min_index;
}

//打印生成的最小生成树
void printMST(int parent[], int graph[V][V])
{
    printf("Edge \tWeight\n");
    for(int i = 1; i < V; i++)
        printf("%d - %d \t%d \n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
}

//生成无向带权图的最小生成树
void primMST(int graph[V][V])
{
    int parent[V]; //存储生成树的父节点
    int key[V];    //用于选择最小权值的顶点
    int mstSet[V]; //用于存储已经被包含在最小生成树中的顶点

    //初始化所有顶点的key值为无穷大，mstSet值为0，parent值为-1
    for(int i = 0; i < V; i++)
        key[i] = INF, mstSet[i] = 0, parent[i] = -1;

    //将第一个顶点作为初始点
    key[0] = 0;
    parent[0] = -1;

    //生成V-1个顶点的最小生成树
    for(int i = 0; i < V-1; i++)
    {
        //找到未被包含在最小生成树中的最小权值的顶点
        int u = minKey(key, mstSet);

        //将这个顶点包含在最小生成树中
        mstSet[u] = 1;

        //更新与该顶点相邻的顶点的key值和parent值
        for(int v = 0; v < V; v++)
            if(graph[u][v] && mstSet[v] == 0 && graph[u][v] < key[v])
                parent[v] = u, key[v] = graph[u][v];
    }

    //打印生成的最小生成树
    printMST(parent, graph);
}

int main()
{
    int graph[V][V] = {{0, 2, 0, 6, 0},
                       {2, 0, 3, 8, 5},
                       {0, 3, 0, 0, 7},
                       {6, 8, 0, 0, 9},
                       {0, 5, 7, 9, 0}};
    primMST(graph);
    return 0;
}

在上述代码中，我们使用了一个二维数组`graph`来存储无向带权图，数组的下标表示顶点的编号，数组的值表示边的权值。在`primMST()`函数中，我们使用了三个数组`parent`、`key`和`mstSet`来存储生成树的父节点、选择最小权值的顶点和已经被包含在最小生成树中的顶点。在`minKey()`函数中，我们找到未被包含在最小生成树中的最小权值的顶点，并返回其编号。在`printMST()`函数中，我们打印生成的最小生成树的边和权值。在`main()`函数中，我们创建一个无向带权图并调用`primMST()`函数来生成最小生成树。

普利姆算法求最小生成树C语言

下面是使用C语言实现Prim算法的最小生成树的代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <limits.h>

#define V 5

int minKey(int key[], int mstSet[]) {
    int min = INT_MAX, min_index;

    for (int v = 0; v < V; v++) {
        if (mstSet[v] == 0 && key[v] < min) {
            min = key[v];
            min_index = v;
        }
    }

    return min_index;
}

void printMST(int parent[], int graph[V][V]) {
    printf("Edge \tWeight\n");
    for (int i = 1; i < V; i++) {
        printf("%d - %d \t%d \n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
    }
}

void primMST(int graph[V][V]) {
    int parent[V];
    int key[V];
    int mstSet[V];

    for (int i = 0; i < V; i++) {
        key[i] = INT_MAX;
        mstSet[i] = 0;
    }

    key[0] = 0;
    parent[0] = -1;

    for (int count = 0; count < V-1; count++) {
        int u = minKey(key, mstSet);
        mstSet[u] = 1;

        for (int v = 0; v < V; v++) {
            if (graph[u][v] && mstSet[v] == 0 && graph[u][v] < key[v]) {
                parent[v] = u;
                key[v] = graph[u][v];
            }
        }
    }

    printMST(parent, graph);
}

int main() {
    int graph[V][V] = {
        { 0, 2, 0, 6, 0 },
        { 2, 0, 3, 8, 5 },
        { 0, 3, 0, 0, 7 },
        { 6, 8, 0, 0, 9 },
        { 0, 5, 7, 9, 0 },
    };

    primMST(graph);

    return 0;
}

这里的 `V` 定义了顶点的数量，`graph` 数组定义了图的邻接矩阵，`printMST` 函数用于输出最小生成树，`primMST` 函数是Prim算法的实现。主函数中定义了一个邻接矩阵，然后调用 `primMST` 函数来输出最小生成树。