按普利姆算法求无向带权图的最小生成树

普利姆算法是一种贪心算法，用于求解无向带权图的最小生成树。其基本思想是通过不断添加边来构建最小生成树，从一个顶点开始，每次选择与已经选定的顶点集合相邻的最小权值边所连的顶点，并将该顶点加入到已选定的顶点集合中，直到所有顶点都被加入到集合中为止。以下是普利姆算法的实现步骤：

1. 初始化：选择一个起始点 s 作为已选定的顶点集合，将其加入到集合中。

2. 从已选定的顶点集合中找到与其相邻的权值最小的边，将其所连的顶点加入到已选定的顶点集合中。

3. 重复步骤 2 直到所有顶点都被加入到集合中为止。

具体实现过程如下：

1. 选择一个起始点 s，将其加入到已选定的顶点集合中。

2. 从已选定的顶点集合中找到与其相邻的权值最小的边 (u,v)，将顶点 v 加入到已选定的顶点集合中，将边 (u,v) 加入到最小生成树的边集合中。

3. 对于已选定的顶点集合中的每个顶点 v，找到与其相邻的权值最小的边 (v,w)，如果顶点 w 不在已选定的顶点集合中，则将顶点 w 加入到已选定的顶点集合中，将边 (v,w) 加入到最小生成树的边集合中。

4. 重复步骤 3 直到所有顶点都被加入到集合中为止。

注意：在实现过程中需要使用优先队列来存储边，以便快速获取权值最小的边。

相关问题

普列姆算法的详细原理介绍

普利姆算法（Prim's algorithm）是一种用于求解最小生成树的贪心算法。它的基本思想是从一个顶点开始，不断将与当前生成树相连的权值最小的边加入到生成树中，直到所有的顶点都被加入到生成树中。下面是普利姆算法的详细原理介绍：

假设有一个无向带权图G=(V,E)，其中V是点的集合，E是边的集合，我们需要求出图G的最小生成树。

1. 选择一个起点，将其加入生成树中。

2. 从与生成树相连的边中，选择权值最小的边，将其加入生成树中。这里可以使用堆优化，将选择边的复杂度降为O(logE)。

3. 重复第二步，直到所有的顶点都被加入到生成树中。

普利姆算法的实现可以使用优先队列或堆来维护当前生成树与未加入的顶点之间的边。每次选择最小边时，只需要从优先队列中取出权值最小的边即可。

普利姆算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中E为边的数量，V为顶点的数量。由于E≤V^2，因此时间复杂度可以简写为O(V^2logV)。在稠密图中，E≈V^2，此时普利姆算法的效率不如Kruskal算法，但在稀疏图中，普利姆算法的效率较高。

利用C语言中的普利姆算法生成无向带权图的最小生成树

普利姆算法（Prim算法）是一种贪心算法，用于求解加权无向图的最小生成树。它的基本思想是从一个顶点开始，每次选择一条权值最小的边与已选的顶点集合相连，直到所有顶点都被选中为止。

下面是利用C语言实现普利姆算法生成无向带权图的最小生成树的代码：

#include<stdio.h>
#include<limits.h>

#define V 5  //顶点数
#define INF INT_MAX //无穷大

//找到未被包含在最小生成树中的最小权值的顶点
int minKey(int key[], int mstSet[])
{
    int min = INF, min_index;
    for(int i = 0; i < V; i++)
        if(mstSet[i] == 0 && key[i] < min)
            min = key[i], min_index = i;
    return min_index;
}

//打印生成的最小生成树
void printMST(int parent[], int graph[V][V])
{
    printf("Edge \tWeight\n");
    for(int i = 1; i < V; i++)
        printf("%d - %d \t%d \n", parent[i], i, graph[i][parent[i]]);
}

//生成无向带权图的最小生成树
void primMST(int graph[V][V])
{
    int parent[V]; //存储生成树的父节点
    int key[V];    //用于选择最小权值的顶点
    int mstSet[V]; //用于存储已经被包含在最小生成树中的顶点

    //初始化所有顶点的key值为无穷大，mstSet值为0，parent值为-1
    for(int i = 0; i < V; i++)
        key[i] = INF, mstSet[i] = 0, parent[i] = -1;

    //将第一个顶点作为初始点
    key[0] = 0;
    parent[0] = -1;

    //生成V-1个顶点的最小生成树
    for(int i = 0; i < V-1; i++)
    {
        //找到未被包含在最小生成树中的最小权值的顶点
        int u = minKey(key, mstSet);

        //将这个顶点包含在最小生成树中
        mstSet[u] = 1;

        //更新与该顶点相邻的顶点的key值和parent值
        for(int v = 0; v < V; v++)
            if(graph[u][v] && mstSet[v] == 0 && graph[u][v] < key[v])
                parent[v] = u, key[v] = graph[u][v];
    }

    //打印生成的最小生成树
    printMST(parent, graph);
}

int main()
{
    int graph[V][V] = {{0, 2, 0, 6, 0},
                       {2, 0, 3, 8, 5},
                       {0, 3, 0, 0, 7},
                       {6, 8, 0, 0, 9},
                       {0, 5, 7, 9, 0}};
    primMST(graph);
    return 0;
}

在上述代码中，我们使用了一个二维数组`graph`来存储无向带权图，数组的下标表示顶点的编号，数组的值表示边的权值。在`primMST()`函数中，我们使用了三个数组`parent`、`key`和`mstSet`来存储生成树的父节点、选择最小权值的顶点和已经被包含在最小生成树中的顶点。在`minKey()`函数中，我们找到未被包含在最小生成树中的最小权值的顶点，并返回其编号。在`printMST()`函数中，我们打印生成的最小生成树的边和权值。在`main()`函数中，我们创建一个无向带权图并调用`primMST()`函数来生成最小生成树。