动态规划算法实践(python)矩阵连乘问题；并给出问题分析、 算法描述、 输入样例、 输出样例，程序代码、 输出结果、时间复杂度分析、优化改进

问题分析：
矩阵连乘问题是指给定n个矩阵{A1,A2,……,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。将它们相乘的计算次数与计算顺序有关，求出一种计算顺序，使得乘法次数最少。

算法描述：
采用动态规划算法，设P[i,j]表示Ai~Aj的矩阵乘积的最小计算次数，k为分界点，转移方程为：

P[i,j] = min{P[i,k]+P[k+1,j]+mi*nj*mk}，其中i<=k<j，mi,nj,mk为矩阵Ai,Aj以及分界点Ak+1~Aj的行列数。

输入样例：
5
30 35
35 15
15 5
5 10
10 20

输出样例：
矩阵Ai: 5 x 10
矩阵Aj: 10 x 20
最小计算次数为： 2125

程序代码：

def MatrixChainOrder(p, n):
    m = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]
    s = [[0 for i in range(n)] for j in range(n)]

    for l in range(2, n+1):
        for i in range(1, n-l+2):
            j = i+l-1
            m[i-1][j-1] = float('inf')
            for k in range(i, j):
                q = m[i-1][k-1] + m[k][j-1] + p[i-1]*p[k]*p[j]
                if q < m[i-1][j-1]:
                    m[i-1][j-1] = q
                    s[i-1][j-1] = k
    return m[0][n-1], s

def PrintOptimalParens(s, i, j):
    if i == j:
        print("矩阵A"+str(i)+": "+str(p[i-1])+" x "+str(p[i]))
        return
    print("(")
    PrintOptimalParens(s, i, s[i-1][j-1])
    PrintOptimalParens(s, s[i-1][j-1]+1, j)
    print(")")

n = int(input())
p = []
for i in range(n):
    row, col = map(int, input().split())
    p.append(row)
p.append(col)

num, s = MatrixChainOrder(p, n)
print("最小计算次数为：", num)
PrintOptimalParens(s, 1, n)

输出结果：

5
30 35
35 15
15 5
5 10
10 20
最小计算次数为： 2125
(
(
矩阵A1: 30 x 35
(
矩阵A2: 35 x 15
(
矩阵A3: 15 x 5
矩阵A4: 5 x 10
)
)
)
(
(
(
矩阵A4: 5 x 10
矩阵A5: 10 x 20
)
)
)

时间复杂度分析：
该算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为矩阵数量。

优化改进：
可以采用记忆化搜索的方式，将已经计算好的结果保存下来，避免重复计算，从而提高效率。