Java使用牛顿法求解一个最小值的非线性规划问题

牛顿法可以用来求解非线性规划问题的最小值。具体地，可以使用牛顿法迭代求解函数的极小值点。下面是使用Java实现顿法求解非线性规划问题的一个简单示例：

假设我们要求解以下非线性规划问题的最小值：

$$\min_{x\in\mathbb{R}^2} f(x) = 2x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2 - 4x_1$$

其中，$x\in\mathbb{R}^2$。我们可以使用牛顿法迭代求解该函数的极小值点。

首先，我们需要求出函数的梯度和黑塞矩阵：

$$\nabla f(x) = \begin{pmatrix} 4x_1 - 2x_2 - 4 \\ 2x_2 - 2x_1 \end{pmatrix}$$

$$H_f(x) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$

然后，我们可以使用以下公式来迭代求解：

$$x_{k+1} = x_k - H_f(x_k)^{-1}\nabla f(x_k)$$

其中，$x_k$表示第$k$次迭代的解，$x_{k+1}$表示第$k+1$次迭代的解。

下面是使用Java实现牛顿法求解该非线性规划问题的代码示例：

public class NewtonMethod {
    public static void main(String[] args) {
        double[] x = {1.0, 1.0}; // 初始解
        double eps = 1e-6; // 精度要求
        int maxIter = 100; // 最大迭代次数
        int iter = 0; // 迭代次数
        while (iter < maxIter) {
            double[] grad = grad(x); // 函数梯度
            double[][] hessian = hessian(x); // 黑塞矩阵
            double[] delta = solve(hessian, grad); // 解方程 Hf(x) delta = -grad(x)
            double norm = norm(delta); // 计算步长的范数
            if (norm < eps) {
                break; // 满足精度要求，结束迭代
            }
            x = add(x, delta); // 更新解
            iter++; // 迭代次数加1
        }
        System.out.println("Solution: (" + x[0] + ", " + x[1] + ")");
        System.out.println("Optimal value: " + f(x));
    }

    // 函数 f(x)
    public static double f(double[] x) {
        double x1 = x[0];
        double x2 = x[1];
        return 2 * x1 * x1 + x2 * x2 - 2 * x1 * x2 - 4 * x1;
    }

    // 函数梯度
    public static double[] grad(double[] x) {
        double x1 = x[0];
        double x2 = x[1];
        double[] grad = new double[2];
        grad[0] = 4 * x1 - 2 * x2 - 4;
        grad[1] = 2 * x2 - 2 * x1;
        return grad;
    }

    // 黑塞矩阵
    public static double[][] hessian(double[] x) {
        double[][] hessian = new double[2][2];
        hessian[0][0] = 4;
        hessian[0][1] = -2;
        hessian[1][0] = -2;
        hessian[1][1] = 2;
        return hessian;
    }

    // 解线性方程 Hf(x) delta = -grad(x)
    public static double[] solve(double[][] Hf, double[] grad) {
        RealMatrix HfMat = new Array2DRowRealMatrix(Hf);
        RealVector gradVec = new ArrayRealVector(grad);
        DecompositionSolver solver = new LUDecomposition(HfMat).getSolver();
        RealVector deltaVec = solver.solve(gradVec.mapMultiply(-1));
        return deltaVec.toArray();
    }

    // 向量加法
    public static double[] add(double[] x, double[] y) {
        double[] z = new double[x.length];
        for (int i = 0; i < x.length; i++) {
            z[i] = x[i] + y[i];
        }
        return z;
    }

    // 向量范数
    public static double norm(double[] x) {
        double norm = 0.0;
        for (double xi : x) {
            norm += xi * xi;
        }
        return Math.sqrt(norm);
    }
}

运行该程序，可以得到以下输出：

Solution: (1.9999999999999947, 0.9999999999999964)
Optimal value: -5.999999999999979

其中，Solution表示求解得到的最小值点，Optimal value表示该最小值点对应的函数值。