椭圆形偏微分方程的无点差分格式

椭圆形偏微分方程的无点差分格式可以使用五点差分格式来实现，其中包括中心差分和上下左右四个方向的差分。假设我们要求解的椭圆形偏微分方程为：

$$-\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x,y)$$

其中 $f(x,y)$ 为已知函数，$u(x,y)$ 为待求解的函数。我们将在网格点 $(i,j)$ 上对 $u(x,y)$ 进行近似，用 $u_{i,j}$ 表示 $u(x_i,y_j)$ 的近似值。则上述方程可以使用五点差分格式表示为：

$$-\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2}-\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta y^2}=f_{i,j}$$

其中 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 分别为 $x$ 和 $y$ 的网格间距。我们可以将上式变形为：

$$u_{i,j}=\frac{1}{2(\frac{1}{\Delta x^2}+\frac{1}{\Delta y^2})}\left[\frac{u_{i+1,j}+u_{i-1,j}}{\Delta x^2}+\frac{u_{i,j+1}+u_{i,j-1}}{\Delta y^2}-f_{i,j}\right]$$

这就是椭圆形偏微分方程的五点无点差分格式。对于边界处的网格点，我们可以使用边界条件来求解。