V为数域K上线性空间，S是V的任意非空子集，V中包含S的所有子空间的交称为由S生成的子空间<S>，证明S包含于<S>

设S包含m个向量{s1,s2,...,sm}，则<S>为包含S的所有子空间的交，即<S>=W1∩W2∩...∩Wk，其中Wi是包含S的子空间。

由于S非空，至少存在一个Wi包含S中的任意一个向量，因此Wi包含S的线性组合，即Wi包含向量{s1,s2,...,sm}的线性组合。又因为<S>=W1∩W2∩...∩Wk，所以<S>也包含{s1,s2,...,sm}的线性组合，即<S>包含S。

综上，S包含于<S>。