cgmfft，matlab实现

CGMFFT（Conjugate Gradient Method with FFT）是一种求解线性方程组的方法，它结合了共轭梯度法和快速傅里叶变换（FFT），能够高效地求解大规模的线性方程组。以下是一个用MATLAB实现CGMFFT的示例代码：

function x = CGMFFT(A,b,x0,tol)

% A: 系数矩阵
% b: 右侧向量
% x0: 初始解
% tol: 允许误差

n = length(b);  % 线性方程组的阶数

r0 = b - A*x0;  % 计算初始残差
p0 = r0;  % 初始搜索方向
x = x0;  % 初始解

for k = 1:n
    Ap = ifft(fft(p0).*fft(A*x));  % 计算矩阵-向量乘积
    alpha = (r0'*r0) / (p0'*Ap);  % 计算步长
    x = x + alpha*p0;  % 更新解
    r1 = r0 - alpha*Ap;  % 计算新残差
    if norm(r1) < tol  % 判断是否收敛
        break;
    end
    beta = (r1'*r1) / (r0'*r0);  % 计算搜索方向更新系数
    p1 = r1 + beta*p0;  % 更新搜索方向
    r0 = r1;  % 更新残差
    p0 = p1;  % 更新搜索方向
end
end

在这个实现中，我们使用了MATLAB自带的FFT函数和IFFT函数来计算矩阵-向量乘积。具体地，我们先将向量A*x和搜索方向p0分别进行FFT变换，然后对它们进行逐元素相乘，得到矩阵-向量乘积的FFT结果。最后，我们使用IFFT函数将FFT结果进行逆变换，得到矩阵-向量乘积的实际值。这样，可以避免直接计算矩阵-向量乘积时的高计算复杂度，从而提高算法效率。