[137422,161840.2,187318.9,219438.5,270092.3,319244.6,348517.7,412119.3,487940.2,538580,592963.2,643563.1]使用gm(1,1)模型对上述序列进行往后5期预测
时间: 2024-05-25 17:14:07 浏览: 53
首先,我们需要通过灰色预测模型GM(1,1)来进行建模和预测。具体步骤如下:
1. 建立累加生成序列
首先,我们需要对原始数据进行累加,得到一个新的序列,即:
[137422, 299262.2, 486581.1, 706019.6, 976111.9, 1290356.5, 1638874.2, 2040993.5, 2528933.7, 3067513.7, 3650476.9, 4294039. ]
2. 计算累加生成序列的一次差分序列
接下来,我们计算累加生成序列的一次差分序列,即:
[161840.2, 187318.9, 219438.5, 270092.3, 319244.6, 348517.7, 412119.3, 487940.2, 538580, 592963.2, 643563.1]
3. 对一次差分序列进行灰色预测
我们可以利用一次差分序列来进行GM(1,1)模型的建立和预测。具体步骤如下:
(1)累加生成序列的初值为:
$$x^{(1)}(0) = \sum_{i=1}^n x(i) = 137422 + 299262.2 + ... + 4294039.0 = 28,470,745.1$$
(2)计算累加生成序列的均值生成序列:
$$z(i) = \frac{1}{2}[x^{(1)}(i) + x^{(1)}(i-1)]$$
其中,$z(1) = x^{(1)}(1)$,即:
[137422, 218342.1, 392421.65, 596300.35, 876565.75, 1119836.7, 1464615.25, 1839931.4, 2202366.95, 2794923.65, 3352700.5, 3977010. ]
(3)计算均值生成序列的紧邻均值生成序列:
$$\hat{z}(i) = z(i) - \frac{1}{2}[z(1) + z(n)]$$
其中,$z(1)$ 和 $z(n)$ 分别表示均值生成序列的首项和末项。即:
[0.0, 8080.1, 82798.65, 142677.35, 229942.75, 280314.7, 343793.25, 422315.4, 498558.95, 607815.65, 663593.5, 726024. ]
(4)计算累加生成序列的系数矩阵 $B$ 和常数向量 $Y$:
$$B = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2}[z(2)+z(1)] & 1 \\ -\frac{1}{2}[z(3)+z(2)] & 1 \\ \vdots & \vdots \\ -\frac{1}{2}[z(n)+z(n-1)] & 1 \end{bmatrix},\qquad Y = \begin{bmatrix} x^{(1)}(2) \\ x^{(1)}(3) \\ \vdots \\ x^{(1)}(n) \end{bmatrix}$$
即:
$$B = \begin{bmatrix} -4040.05 & 1 \\ -45560.05 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ -781308.25 & 1 \end{bmatrix},\qquad Y = \begin{bmatrix} 299262.2 \\ 486581.1 \\ \vdots \\ 4294039.0 \end{bmatrix}$$
(5)求解参数向量 $\hat{a} = (a, b)^T$:
$$\hat{a} = (B^T B)^{-1} B^T Y$$
计算得到:
$$\hat{a} \approx (299,983.4,\quad 135.4066)^T$$
(6)利用参数向量 $\hat{a}$ 进行预测
我们可以利用灰色预测模型的公式进行往后预测,即:
$$\hat{x}^{(1)}(i) = (x^{(1)}(1) - \frac{b}{a}) e^{-a(i-1)} + \frac{b}{a}$$
其中,$\hat{x}^{(1)}(i)$ 表示预测的第 $i$ 个值,$a$ 和 $b$ 分别为参数向量 $\hat{a}$ 的两个分量。我们可以依次计算出往后5期的预测值,即:
$$\hat{x}^{(1)}(13) \approx 4,574,410.7$$
$$\hat{x}^{(1)}(14) \approx 5,003,567.2$$
$$\hat{x}^{(1)}(15) \approx 5,465,052.2$$
$$\hat{x}^{(1)}(16) \approx 5,963,030.6$$
$$\hat{x}^{(1)}(17) \approx 6,501,019.7$$
4. 计算原始序列的预测值
最后,我们可以通过差分序列和累加生成序列的关系,计算出原始序列的预测值,即:
$$\hat{x}(13) \approx \hat{x}^{(1)}(13) - x(12) \approx 4,574,410.7 - 4294039.0 \approx -3,371,628.3$$
$$\hat{x}(14) \approx \hat{x}^{(1)}(14) - x(13) \approx 5,003,567.2 - (-3,371,628.3) \approx 8,375,195.5$$
$$\hat{x}(15) \approx \hat{x}^{(1)}(15) - x(14) \approx 5,465,052.2 - 8,375,195.5 \approx -2,910,143.3$$
$$\hat{x}(16) \approx \hat{x}^{(1)}(16) - x(15) \approx 5,963,030.6 - (-2,910,143.3) \approx 8,873,173.9$$
$$\hat{x}(17) \approx \hat{x}^{(1)}(17) - x(16) \approx 6,501,019.7 - 8,873,173.9 \approx -2,372,154.2$$
因此,预测结果为:
[8,375,195.5, -2,910,143.3, 8,873,173.9, -2,372,154.2, ...]
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