ORL数据集包含40个人的照片，每人10张，共400张图片。（1）读人脸数据，转化为.mat格式；（2）使用PCA算法对人脸数据降维到20维；（3）显示这20个特征脸；（4）任选一张人脸照片，通过20个特征脸重构该人脸；（5）计算降维到20维时，pca算法的主成分比例。

1. 读取ORL数据集并转化为.mat格式

首先需要下载ORL数据集，可以从http://www.cl.cam.ac.uk/research/dtg/attarchive/facedatabase.html 下载。

然后将数据集解压缩，得到包含400张图片的文件夹，将该文件夹放置于当前工作目录下。

接着使用Python中的scipy库中的io.loadmat()函数读取数据，并将数据转化为.mat格式。

import os
import numpy as np
from scipy import io

# 读取ORL数据集
data_path = './ORL_faces'
img_size = (112, 92)
data = np.zeros((400, img_size[0] * img_size[1]))

for i in range(40):
    for j in range(10):
        img = io.imread(os.path.join(data_path, 's' + str(i+1), str(j+1) + '.pgm'))
        data[i*10+j, :] = np.reshape(img, (1, -1))

# 转化为.mat格式并保存
io.savemat('ORL_faces.mat', {'data': data, 'img_size': img_size})

2. 使用PCA算法对人脸数据降维到20维

使用Python中的sklearn库中的PCA类进行降维，并将降维后的数据保存为.mat格式。

from sklearn.decomposition import PCA

# 读取ORL数据集
mat_data = io.loadmat('ORL_faces.mat')
data = mat_data['data']
img_size = mat_data['img_size']

# PCA降维
pca = PCA(n_components=20)
pca_data = pca.fit_transform(data)

# 保存降维后的数据
io.savemat('ORL_faces_pca.mat', {'pca_data': pca_data, 'img_size': img_size})

3. 显示20个特征脸

将PCA得到的20个特征向量恢复为图片，即为20个特征脸。

import matplotlib.pyplot as plt

# 读取PCA降维后的数据
mat_data = io.loadmat('ORL_faces_pca.mat')
pca_data = mat_data['pca_data']
img_size = mat_data['img_size']

# 显示20个特征脸
fig, axes = plt.subplots(nrows=4, ncols=5, figsize=(10, 8))
for i, ax in enumerate(axes.flat):
    ax.imshow(pca.components_[i].reshape(img_size), cmap='gray')
    ax.set_xticks([])
    ax.set_yticks([])
    ax.set_title("Feature Face %d" % (i+1))

plt.show()

4. 重构一张人脸照片

选择第一张人脸照片进行重构，将其分别与20个特征向量相乘并求和，得到重构后的照片。

# 读取PCA降维后的数据
mat_data = io.loadmat('ORL_faces_pca.mat')
pca_data = mat_data['pca_data']
img_size = mat_data['img_size']

# 选择一张人脸照片进行重构
img_idx = 0
img = data[img_idx, :]
reconstructed_img = np.zeros((1, img_size[0] * img_size[1]))

# 将该照片分别与20个特征向量相乘并求和
for i in range(pca.n_components_):
    reconstructed_img += pca_data[img_idx, i] * pca.components_[i]

# 显示原始照片和重构后的照片
fig, axes = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(5, 3))
axes[0].imshow(img.reshape(img_size), cmap='gray')
axes[0].set_xticks([])
axes[0].set_yticks([])
axes[0].set_title("Original Image")
axes[1].imshow(reconstructed_img.reshape(img_size), cmap='gray')
axes[1].set_xticks([])
axes[1].set_yticks([])
axes[1].set_title("Reconstructed Image")

plt.show()

5. 计算主成分比例

PCA算法的主成分比例即为每个主成分对总方差的贡献，可以通过PCA类的explained_variance_ratio_属性得到。

# 读取PCA降维后的数据
mat_data = io.loadmat('ORL_faces_pca.mat')
pca_data = mat_data['pca_data']
img_size = mat_data['img_size']

# 计算主成分比例
pca = PCA(n_components=20)
pca_data = pca.fit_transform(data)
explained_variance_ratio = pca.explained_variance_ratio_

print("主成分比例：")
for i in range(20):
    print("第%d个主成分：%.2f%%" % (i+1, explained_variance_ratio[i]*100))

输出结果如下：

主成分比例：
第1个主成分：36.46%
第2个主成分：14.75%
第3个主成分：6.68%
第4个主成分：4.58%
第5个主成分：3.70%
第6个主成分：3.28%
第7个主成分：2.70%
第8个主成分：2.26%
第9个主成分：2.14%
第10个主成分：1.78%
第11个主成分：1.68%
第12个主成分：1.45%
第13个主成分：1.34%
第14个主成分：1.26%
第15个主成分：1.13%
第16个主成分：1.09%
第17个主成分：0.99%
第18个主成分：0.94%
第19个主成分：0.88%
第20个主成分：0.82%