使用数学法、写出f(x)=e^2x在 x 为 0 处的三阶泰勒展开式， 需写出计算过程

$f(x)=e^{2x}$ 在 $x=0$ 处进行三阶泰勒展开，我们需要求出 $f(0)$，$f'(0)$，$f''(0)$ 和 $f'''(0)$。

$$
\begin{aligned}
f(x) &= e^{2x} \\
f(0) &= e^0 = 1 \\
f'(x) &= 2e^{2x} \\
f'(0) &= 2e^0 = 2 \\
f''(x) &= 4e^{2x} \\
f''(0) &= 4e^0 = 4 \\
f'''(x) &= 8e^{2x} \\
f'''(0) &= 8e^0 = 8 \\
\end{aligned}
$$

根据泰勒公式，$f(x)$ 在 $x=0$ 处的三阶泰勒展开式为：

$$ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 $$

将 $f(0)$，$f'(0)$，$f''(0)$ 和 $f'''(0)$ 代入，得到：

$$
\begin{aligned}
f(x) &= 1 + 2x + \frac{4}{2}x^2 + \frac{8}{6}x^3 \\
&= 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3
\end{aligned}
$$

因此，$f(x)=e^{2x}$ 在 $x=0$ 处的三阶泰勒展开式为 $f(x) = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$。