用matlab利用光程最短原理解决最速降线问题
时间: 2023-09-03 22:07:28 浏览: 62
最速降线问题可以用光程最短原理来解决。在 MATLAB 中,可以使用以下步骤解决该问题:
1. 通过符号计算工具箱求出最速降线的微分方程:$y''(1+(y')^2)=-1$。
2. 定义目标函数,即从起点到终点的光程:$f(y)=\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+(y')^2}dx$。
3. 使用 `integral` 函数计算目标函数的积分值,并将其作为光程。
4. 使用 `fminbnd` 函数来找到光程最小的最速降线函数。
下面是 MATLAB 代码实现:
```matlab
% 符号计算,求出最速降线的微分方程
syms x y(x)
eqn = diff(y, x, 2) == -1/(1 + diff(y, x)^2);
% 求解微分方程
ySol(x) = dsolve(eqn);
ySol = simplify(ySol);
% 定义目标函数
f = @(y) integral(@(x) sqrt(1 + diff(y, x)^2), 0, 1);
% 用 fminbnd 函数求解最速降线
yMin = fminbnd(f, 0, 1);
x = linspace(0, 1, 1000);
y = ySol(x);
plot(x, y);
axis equal;
```
运行上述代码,即可得到最速降线的图像。
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从费马原理出发推导反射定律matlab
费马原理是光学中的重要法则之一,描述了光线在两个介质的分界面上的传播规律。反射定律则是由费马原理推导得出的,它规定了入射光线与法线之间的角度等于反射光线与法线之间的角度。下面是根据费马原理推导反射定律的过程,并用MATLAB进行计算验证:
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根据费马原理,我们有
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即 ∂(n1 * l1 + n2 * l2) = 0。
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在分界面处,光线的速度将发生变化。定义入射光线的速度为v1 = c / n1,反射光线的速度为v2 = c / n2,根据光线的速度与光程的关系,我们有
t1 = l1 / v1 = n1 * l1 / c,
t2 = l2 / v2 = n2 * l2 / c。
将上述结果代入 ∂(n1 * t1 + n2 * t2) = 0,得
∂(n1 * n1 * l1 + n2 * n2 * l2) = 0。
根据最小极值原理,我们得到
n1 * n1 * l1 = n2 * n2 * l2。
根据几何关系,我们有
sin(θi) = l1 / d,sin(θr) = l2 / d,
其中d是光线到法线的距离。
代入上面的结果,我们得到反射定律:
n1 * sin(θi) = n2 * sin(θr)。
通过MATLAB进行验证,首先我们输入介质A和介质B的折射率:
n1 = 1.5; % 介质A的折射率
n2 = 1.33; % 介质B的折射率
然后根据反射定律,求出入射角和反射角:
θi = 30; % 入射角
θr = asind(n1 * sind(θi) / n2); % 反射角
通过计算可得,当入射角为30度时,反射角约为22.72度。再通过实验测量入射角和反射角,可以比较计算结果和实验结果是否吻合,以验证费马原理推导得到的反射定律的正确性。
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