void prim() { int i, j, k; int min, min_idx; for (i = 1; i <= n; i++) { vis[i] = 0; // 初始化所有顶点未加入生成树 dis[i] = INF; // 初始化所有顶点到生成树的最短距离为无穷大 } vis[1] = 1; // 从第一个顶点开始构建生成树 for (i = 2; i <= n; i++) { dis[i] = edges[i].w; // 初始化每个顶点到生成树的最短距离为与第一个顶点相连的边的权值 } for (i = 2; i <= n; i++) { min = INF; for (j = 2; j <= n; j++) { if (!vis[j] && dis[j] < min) { // 找到未加入生成树的顶点中距离生成树最近的顶点 min = dis[j]; min_idx = j; } } vis[min_idx] = 1; // 将该顶点加入生成树 cout << "最小生成树的边和权值" << endl; cout<<edges[min_idx].u<<' '<<edges[min_idx].v << ' ' << edges[min_idx].w<<endl; // 输出该边 for (k = 2; k <= n; k++) { if (!vis[k] && edges[k].w < dis[k]) { // 更新未加入生成树的顶点到生成树的最短距离 dis[k] = edges[k].w; } } } }

这是一个使用 Prim 算法求解最小生成树的函数。Prim 算法的基本思想是从一个起点开始，每次选取一个离当前生成树最近的未加入生成树的顶点，将该顶点加入生成树，并更新其他未加入生成树的顶点到生成树的最短距离。这个函数中，首先初始化所有顶点未加入生成树，所有顶点到生成树的最短距离为无穷大。然后从第一个顶点开始构建生成树，初始化每个顶点到生成树的最短距离为与第一个顶点相连的边的权值。接着进行 n-1 次循环，在每次循环中选取一个离当前生成树最近的未加入生成树的顶点，并将该顶点加入生成树。在选取最近的顶点时，可以遍历所有未加入生成树的顶点，找到距离生成树最近的顶点即可。加入该顶点后，需要更新其他未加入生成树的顶点到生成树的最短距离，即更新与该顶点相连的边的权值。最终输出最小生成树的边及其权值即可。

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#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #define MAXN 1005 #define INF 0x3f3f3f3f int n, m, ans = 0; int g[MAXN][MAXN], vis[MAXN], dis[MAXN]; void prim() { for (int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF; dis[1] = 0; for (int i = 1; i <= n; i++) { int u = 0; for (int j = 1; j <= n; j++) if (!vis[j] && (u == 0 || dis[j] < dis[u])) u = j; vis[u] = 1; ans += dis[u]; for (int v = 1; v <= n; v++) if (!vis[v] && g[u][v] < dis[v]) dis[v] = g[u][v]; } } int main() { scanf("%d%d", &n, &m); for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 1; j <= n; j++) g[i][j] = INF; for (int i = 1; i <= m; i++) { int u, v, w; scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); g[u][v] = g[v][u] = w; } prim(); printf("%d\n", ans); return 0; }在该代码的基础上增加打印输出路线节点和两个节点的树边权值

在代码的prim函数中，每次更新dis数组时，可以记录下前驱节点pre[v]，表示v节点在生成树中的前驱节点是pre[v]。在循环结束后，可以依次输出生成树中的边和节点。具体实现如下：

void prim() {
    int pre[MAXN];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dis[i] = INF;
        pre[i] = 0;
    }
    dis[1] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int u = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!vis[j] && (u == 0 || dis[j] < dis[u]))
                u = j;
        vis[u] = 1;
        ans += dis[u];
        if (pre[u]) printf("%d -> %d: %d\n", pre[u], u, dis[u]);
        for (int v = 1; v <= n; v++) {
            if (!vis[v] && g[u][v] < dis[v]) {
                dis[v] = g[u][v];
                pre[v] = u;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) if (pre[i]) printf("%d ", i);
    printf("\n");
}

在主函数中，直接调用prim函数即可输出最小生成树的边和节点。

#include <iostream>#include <vector>#include <limits>using namespace std;const float INF = numeric_limits<float>：：infinity（）;int main（） { while （true） { try { int n， e; cin >> n >> e; vector<vector<float>> edges（n， vector<float>（n， INF））; for （int i = 0; i < e; ++i） { int a， b， c;cin >> a >> b >> c;边[a][b] = 边[b][a] = c;} // Prim algorithm vector<float> dist（n， INF）;距离[0] = 0;向量<布尔>访问（n，假）;for （int i = 0; i < n; ++i） { // 查找最小距离的顶点 int u = -1; for （int v = 0; v < n; ++v） { if （！visited[v] && （u == -1 || dist[v] < dist[u]）） { u = v; } } visited[u] = true; // update distance for （int v = 0; v < n; ++v） { if （！visited[v]） { dist[v] = min（dist[v]， 边[U][v]）;} } } int ans = 0;浮点数min_sum = INF;for （int i = 0; i < n; ++i） { float sum_dist = 0; for （int j = 0; j < n; ++j） { sum_dist += edges[i][j]; } if （sum_dist < min_sum） { min_sum = sum_dist; ans = i; } } cout << ans << endl;} catch （const exception& e） { break; } }返回 0;}帮我把这段代码时间复杂度减小

这段代码的时间复杂度是 $O(n^2)$，其中 $n$ 是顶点的数量。我们可以通过使用堆来优化 Prim 算法的时间复杂度，使其变为 $O(m \log n)$，其中 $m$ 是边的数量。具体来说，我们可以将距离存储在堆中，并在每次更新距离时更新堆。这样，每次从堆中弹出的元素都是当前未访问顶点中距离最小的。

修改后的代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <limits>

using namespace std;

const float INF = numeric_limits<float>::infinity();

int main() {
    while (true) {
        try {
            int n, e;
            cin >> n >> e;

            vector<vector<float>> edges(n, vector<float>(n, INF));
            for (int i = 0; i < e; ++i) {
                int a, b, c;
                cin >> a >> b >> c;
                edges[a][b] = edges[b][a] = c;
            }

            // Prim algorithm
            vector<float> dist(n, INF);
            dist[0] = 0;
            vector<bool> visited(n, false);
            priority_queue<pair<float, int>, vector<pair<float, int>>, greater<pair<float, int>>> heap;
            heap.emplace(0, 0);
            while (!heap.empty()) {
                int u = heap.top().second;
                heap.pop();
                visited[u] = true;
                for (int v = 0; v < n; ++v) {
                    if (!visited[v] && edges[u][v] < dist[v]) {
                        dist[v] = edges[u][v];
                        heap.emplace(dist[v], v);
                    }
                }
            }

            int ans = 0;
            float min_sum = INF;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                float sum_dist = 0;
                for (int j = 0; j < n; ++j) {
                    sum_dist += edges[i][j];
                }
                if (sum_dist < min_sum) {
                    min_sum = sum_dist;
                    ans = i;
                }
            }

            cout << ans << endl;
        } catch (const exception& e) {
            break;
        }
    }

    return 0;
}

修改后的代码使用了一个最小堆来存储距离，堆的元素是一对值 $(d, u)$，其中 $d$ 是 $u$ 到当前生成树的距离，$u$ 是顶点编号。每次从堆中弹出的元素就是当前未访问顶点中距离最小的。在更新距离时，我们只需要将新的距离和对应的顶点加入堆中即可。这样，每个顶点最多会被访问一次，每次访问的时间复杂度为 $O(\log n)$。因此，总时间复杂度为 $O(m \log n)$。