2. 已知 ， 和 三个多项式，求 1） ， 2） 3） 的全部根

好的，我来回答你的问题。

1）根据泰勒公式，可以将多项式表示为：

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$

将 $a=0$ 代入，得到：

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$$

因此，

$$\begin{aligned}
F(x) &= f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \cdots\\
&= \sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(x)
\end{aligned}$$

代入 $f(x), f'(x), f''(x)$，得到：

$$\begin{aligned}
F(x) &= f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \cdots\\
&= f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots\\
&+ f'(0) + f''(0)x + \frac{f'''(0)}{2!}x^2 + \cdots\\
&+ f''(0) + f'''(0)x + \cdots\\
&+ f'''(0) + \cdots\\
&= f(0) + (f'(0) + f(0))x + (\frac{f''(0)}{2!} + f'(0) + f(0))x^2 + (\frac{f'''(0)}{3!} + \frac{f''(0)}{2!} + f'(0) + f(0))x^3 + \cdots\\
&= f(0) + f(0)x + (f'(0) + f(0))x^2 + (\frac{f''(0)}{2!} + f'(0) + f(0))x^3 + (\frac{f'''(0)}{3!} + \frac{f''(0)}{2!} + f'(0) + f(0))x^4 + \cdots
\end{aligned}$$

因此，$F(x)$ 是一个形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots$ 的幂级数，其中 $a_n = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(0)$。

2）由于 $F(x)$ 是幂级数，因此可以求出它的收敛半径 $R$。设 $R'$ 是 $f(x)$ 的收敛半径，$R''$ 是 $f'(x)$ 的收敛半径，$R'''$ 是 $f''(x)$ 的收敛半径，以此类推。则有：

$$\begin{aligned}
\frac{1}{R} &= \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}\\
&= \limsup_{n\to\infty} \left|\sum_{k=0}^n f^{(k)}(0)\right|^{1/n}\\
&\leq \limsup_{n\to\infty} \left(\sum_{k=0}^n |f^{(k)}(0)|\right)^{1/n}\\
&\leq \limsup_{n\to\infty} \left(\sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!}R^{n-k}\right)^{1/n}\\
&= \limsup_{n\to\infty} \left(n!\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left(\frac{R}{n}\right)^{n-k}\right)^{1/n}\\
&= \lim_{n\to\infty} n^{1/n}\sqrt[n]{\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left(\frac{R}{n}\right)^{n-k}}\\
&= \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left(\frac{R}{n}\right)^{n-k}}\\
&= e^{-R'}
\end{aligned}$$

因此，$R = \frac{1}{e^{R'}}$。

3）要求 $f(x), f'(x), f''(x)$ 的所有根，可以使用牛顿迭代法。具体地，对于 $f(x)=0$，我们可以从一个初始点 $x_0$ 开始，使用以下公式迭代：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

直到收敛到某个根。对于 $f'(x)=0$，我们可以使用类似的方法，从一个初始点 $x_0$ 开始，使用以下公式迭代：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}$$

直到收敛到某个根。对于 $f''(x)=0$，同样可以使用类似的方法。