树，布尔代数，独异点，闭包。哪些是代数系统

树、布尔代数以及闭包都是代数系统，而独异点不是代数系统。

1. 树是一种数据结构，可以用图形化的方式呈现层次结构。在代数学中，树可以被视为一种代数系统，即树代数（Tree Algebra），树代数中定义了树的基本运算和性质，如树的子树、树的深度等。

2. 布尔代数是一种代数系统，它是基于二元关系的逻辑代数。布尔代数中的元素只有两个取值，通常用0和1来表示，代表真和假。布尔代数中定义了逻辑运算，如与、或、非等，以及一些基本定理，如德摩根定理、布尔定理等。

3. 闭包也是一种代数系统，它是基于一个集合和一个运算的代数结构。闭包中的运算通常是一种二元运算，而且满足封闭性、结合律、有单位元等性质。闭包代数在计算机科学、数学和物理学等领域中都有广泛应用。

4. 独异点不是代数系统，它是图论中的一个概念，用于描述无向图中的一个点，该点与其邻点的度数恰好有一个是奇数，一个是偶数。独异点在图论中有重要应用，但不是代数学中的概念。

相关问题

（1）代数<N6,+6>是半群吗？是独异点吗？说明理由。若是，求其幺元； （2）代数<N6,+6>是群吗？说明理由。若是，写出其所有子群； （3）代数<N6,+6>是循环群吗？说明理由。若是，写出其所有的生成元。

首先，代数<N6,+6>是一个由数字0到5组成的集合，加法运算为模6加法，即对6取模后的加法。下面分别回答每一个问题：

(1) 代数<N6,+6>是半群，但不是独异点。

半群的定义是满足结合律的封闭二元运算，而加法运算显然满足这个条件，因此<N6,+6>是一个半群。但是，独异点是指存在一个元素，使得它对于运算满足唯一的左、右逆元，而在<N6,+6>中不存在这样的元素，因此它不是独异点。

幺元是指对于运算，存在一个元素使得与它运算结果不变，而在<N6,+6>中，0是这个元素，因此0是<N6,+6>的幺元。

(2) 代数<N6,+6>不是群。

群的定义是一个满足封闭、结合、存在幺元、每个元素都存在逆元的集合，而<N6,+6>缺少逆元。例如，对于元素1来说，不存在任何一个元素使得它与1的加和等于0。

(3) 代数<N6,+6>不是循环群。

循环群的定义是由一个元素生成的群，而在<N6,+6>中，每个元素都可以生成一个子群，但不存在一个元素可以生成整个群。因此，它不是循环群。

总结：
- 代数<N6,+6>是半群，但不是独异点。
- 代数<N6,+6>的幺元是0。
- 代数<N6,+6>不是群。
- 代数<N6,+6>不是循环群。

2、若<S,*>是可交换独异点，T 为 S 中所有等幂元的集合，则<T,* >是<S,* >的 子独异点

首先需要明确几个概念：

- 可交换独异点指的是一个满足结合律、有单位元、每个元素都有唯一的逆元，并且满足交换律的代数系统。
- 等幂元指的是在可交换独异点中，任意两个元素的幂次相等。

根据题目描述，我们可以得到：

- S 是一个可交换独异点；
- T 是 S 中所有等幂元的集合。

那么我们需要证明的是，<T, *> 是 <S, *> 的子独异点。

首先，<T, *> 中的任意两个元素都是 S 中的等幂元，因此它们的幂次相等。因为 S 是可交换独异点，所以 <T, *> 中的任意两个元素的乘积在 S 中也是等幂元，因此它们的乘积在 <T, *> 中也是等幂元。

其次，<T, *> 中有单位元，这个单位元在 S 中也是存在且唯一的，因此 <T, *> 中也有单位元。

最后，<T, *> 中任意元素的逆元在 S 中也是存在且唯一的，因此 <T, *> 中任意元素的逆元在 <T, *> 中也是存在且唯一的。

综上所述，<T, *> 是 <S, *> 的子独异点。