svd-icp的是谁提出的

时间: 2023-09-28 22:13:46 浏览: 133

SVD-被引用最多的论文

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### SVD（奇异值分解）及其在最小二乘解中的应用 #### 一、理论背景 ##### 1.1 引言 SVD（奇异值分解）是一种强大的矩阵分解技术，在许多数学和工程领域有着广泛的应用。对于一个实数矩阵 \( A \) (假设其维度为 \( m \times n \)，且 \( m \geq n \))，可以将其表示为三个矩阵的乘积： \[ A = U \Sigma V^T \] 其中： - \( U \) 是一个 \( m \times n \) 的正交矩阵（\( U^TU = I \)），由 \( A \) 的右奇异向量组成。 - \( \Sigma \) 是一个 \( n \times n \) 的对角矩阵，对角线上的元素是非负的奇异值，即 \( \Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n) \)。 - \( V \) 是一个 \( n \times n \) 的正交矩阵（\( V^TV = I \)），由 \( A \) 的左奇异向量组成。这些奇异值是矩阵 \( A^TA \) 的特征值的非负平方根，并按降序排列。如果 \( A \) 的秩为 \( r \)，则前 \( r \) 个奇异值非零，其余的奇异值为零。 #### 二、SVD 的计算方法对于给定矩阵 \( A \)，计算其 SVD 有多种方法。早期的方法包括基于平面旋转的方法，这种方法由 Forsythe 和 Henrici [2]、Hestenes [8] 以及 Kogbetliantz [9] 提出。此外，Kublanovskaya [10] 建议了一种 QR 类型的方法。目前广泛使用的算法通常首先利用 Householder 变换将矩阵 \( A \) 化简为双对角形式。 ##### 2.1 Householder 变换与双对角化 Householder 变换是一种有效的矩阵变换技术，可以将矩阵转化为特定的形式，如上三角形或双对角形式。对于 SVD 计算而言，目标是将矩阵 \( A \) 转换为双对角形式，即矩阵的所有非对角元素都为零，仅剩下主对角线和副对角线上的元素。通过这种方式，可以简化后续计算并提高数值稳定性。具体来说，首先应用 Householder 变换将 \( A \) 的左侧转换为上三角形式，然后再次应用 Householder 变换来进一步简化该上三角矩阵，最终得到双对角矩阵。这一过程可以显著减少计算量，并避免了直接计算 \( A^TA \) 所带来的数值不稳定性问题。 ##### 2.2 计算奇异值和奇异向量一旦矩阵 \( A \) 被简化为双对角形式，就可以使用 QR 分解或其他迭代方法来求解奇异值和奇异向量。常用的迭代方法包括 QR 迭代法和幂迭代法等。 #### 三、SVD 在最小二乘问题中的应用 SVD 在解决最小二乘问题时非常有用。最小二乘问题的目标是最小化残差平方和，即找到向量 \( x \) 使得 \( Ax - b \) 的模平方最小。当矩阵 \( A \) 的秩小于其列数时，最小二乘解可以通过 SVD 来求得。给定矩阵 \( A \) 和向量 \( b \)，最小二乘解可以通过以下步骤求得： 1. **计算 SVD**：\( A = U \Sigma V^T \)。 2. **构造辅助矩阵**：令 \( \Sigma^\dagger \) 为 \( \Sigma \) 的伪逆，即对非零奇异值取倒数，并保持零奇异值为零。 3. **求解**：最小二乘解 \( x \) 可以表示为 \( x = V \Sigma^\dagger U^T b \)。这种求解方法不仅简单，而且具有很好的数值稳定性。 #### 四、示例分析考虑一个简单的例子，矩阵 \( A \) 定义如下： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & \epsilon \end{pmatrix} \] 其中 \( \epsilon \) 是一个小数。若直接计算 \( A^TA \)，则可能因 \( \epsilon \) 的数值极小而导致数值精度问题。而通过 SVD 方法，即使 \( \epsilon \) 接近机器精度，也能准确地求得奇异值和奇异向量。 #### 结论 SVD 不仅是一种强大的数学工具，而且在实际应用中也极为重要。它能够帮助我们理解矩阵的基本结构，并为解决复杂的数学问题提供了有效手段。通过上述讨论，我们可以看出 SVD 在最小二乘问题解决中的关键作用，同时也了解了 SVD 的基本计算流程。

SVD-ICP算法最初由Andrea G. Fusiello在1998年提出。他在论文"Least-Squares Fitting of Two 3-D Point Sets"中详细描述了这个算法的原理和应用。这篇论文提出了一种基于奇异值分解的点云配准方法，即SVD-ICP算法。随后，SVD-ICP算法被广泛采用并在点云配准领域取得了很好的效果。

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