回答下面的离散数学题目:证明在任意置换群中,如果a=(a1,a2,.am)和b=(b1,b2,··…,bn)没有相同部分,则ab=ba。
时间: 2024-06-10 18:04:56 浏览: 15
根据离散数学中的群论理论,任意置换群中的群元素可以表示为置换矩阵。假设a和b是任意置换群中的两个置换矩阵,且它们没有相同部分,则说明矩阵a和矩阵b所表示的置换操作作用在不同的元素上。
若ab≠ba,则说明矩阵a与矩阵b的置换操作不满足交换律,即存在一些元素x,使得先进行矩阵a的置换操作再进行矩阵b的置换操作与先进行矩阵b的置换操作再进行矩阵a的置换操作对元素x产生的置换结果不同。
由于a和b所表示的置换操作作用在不同的元素上,因此对于任意的元素x,矩阵a和矩阵b的置换操作都是独立的。假设a的置换操作将元素x映射到元素y,而b的置换操作将元素y映射到元素z,则说明先进行矩阵a的置换操作再进行矩阵b的置换操作与先进行矩阵b的置换操作再进行矩阵a的置换操作对元素x的置换结果也应该不同,这与我们的前提矛盾。
因此,我们得出结论:在任意置换群中,如果a和b没有相同部分,则ab=ba。
相关问题
证明在任何置换群中,如果循环对𝛼 = (𝑎1.𝑎2, … , 𝑎𝑚) 和 𝛽 = (𝑏1.𝑏2, … , 𝑏𝑛) 没有共同的条目,那么𝛼𝛽 = 𝛽𝛼.
好的,让我来回答你的问题。
首先,假设我们有一个置换群 G,其中 𝛼 = (𝑎1.𝑎2, … , 𝑎𝑚) 和 𝛽 = (𝑏1.𝑏2, … , 𝑏𝑛) 是两个没有共同条目的循环置换。我们要证明的是𝛼𝛽 = 𝛽𝛼。
我们可以先将𝛼和𝛽分别拆分成它们的独立置换。由于 𝛼 和 𝛽 互相没有交集,我们可以将它们合并为一个置换表达式。也就是说,我们有:
(𝑎1,𝑎2, … , 𝑎𝑚)(𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑛) = (𝑎1,𝑎2, … , 𝑎𝑚,𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑛)
(𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑛)(𝑎1,𝑎2, … , 𝑎𝑚) = (𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑛,𝑎1,𝑎2, … , 𝑎𝑚)
从这两个表达式,我们可以看出 𝛼𝛽 和 𝛽𝛼 的结果都是相同的置换 (𝑎1,𝑎2, … , 𝑎𝑚,𝑏1,𝑏2, … , 𝑏𝑛)。因此,我们得出了结论:
𝛼𝛽 = 𝛽𝛼
这证明了在任何置换群中,如果循环对𝛼 = (𝑎1.𝑎2, … , 𝑎𝑚) 和 𝛽 = (𝑏1.𝑏2, … , 𝑏𝑛) 没有共同的条目,那么𝛼𝛽 = 𝛽𝛼。
希望这个答案对你有帮助!
将一维数组中将两个线性表(a1,a2,...an)和(b1,b2,...,bm)合并后顺序置换,即从原来的(a1,a2,...an,b1,b2,...,bm)变为(b1,b2,...,bm,a1,a2,...an)
这个问题可以通过三次数组翻转来解决。
首先将整个数组翻转,变成(bm,bm-1,...,b2,b1,an,an-1,...,a2,a1)。
然后将前面的部分(bm,bm-1,...,b2,b1)翻转,变成(b1,b2,...,bm)。
最后将后面的部分(an,an-1,...,a2,a1)翻转,变成(a1,a2,...,an)。
最终得到的数组就是题目要求的顺序置换后的数组(b1,b2,...,bm,a1,a2,...an)。
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