Mentgomery 数域转换 C代码

Montgomery数域转换是用于加速大数乘法的一种技术。下面给出一个C语言实现的例子：

#include <stdio.h>
#include <stdint.h>

#define BASE 65536       // 模数的基数
#define BASE_BITS 16     // 模数的位数
#define MASK 0xffff      // 用于取模的掩码

typedef struct montgomery_ctx_s {
    uint32_t n;          // 模数
    uint32_t r;          // r = 2^k，其中k为模数的位数
    uint32_t n_prime;    // n' = -(n^-1) mod r
} montgomery_ctx_t;

// 计算a * b mod n
uint32_t montgomery_mul(montgomery_ctx_t *ctx, uint32_t a, uint32_t b) {
    uint32_t t = (uint64_t)a * b * ctx->n_prime % ctx->r;
    uint32_t u = (uint64_t)(t + (uint64_t)a * b) / ctx->r;
    return u < ctx->n ? u : u - ctx->n;
}

// 将普通整数a转换为Montgomery数
uint32_t montgomery_reduce(montgomery_ctx_t *ctx, uint32_t a) {
    return (uint64_t)a * ctx->r % ctx->n;
}

int main() {
    montgomery_ctx_t ctx;
    uint32_t a = 65537, b = 65539;

    // 初始化上下文
    ctx.n = 0xffffffff;
    ctx.r = 1;
    while (ctx.r < ctx.n) {
        ctx.r <<= 1;
    }
    ctx.n_prime = -ctx->n % ctx->r;

    // 将a、b转换为Montgomery数
    uint32_t ma = montgomery_reduce(&ctx, a);
    uint32_t mb = montgomery_reduce(&ctx, b);

    // 计算a * b mod n
    uint32_t res = montgomery_reduce(&ctx, montgomery_mul(&ctx, ma, mb));
    printf("%u * %u mod %u = %u\n", a, b, ctx.n, res);

    return 0;
}

这个例子中，我们定义了一个`montgomery_ctx_t`结构体，用于保存Montgomery数域转换中需要用到的参数。在`montgomery_mul`函数中，我们按照Montgomery数域转换的公式计算出了$a * b * r^{-1} \bmod r$的结果，并返回其除以$r$后的余数。在`montgomery_reduce`函数中，我们将普通整数$a$转换为Montgomery数。

在`main`函数中，我们创建了一个`montgomery_ctx_t`结构体，将模数设为0xffffffff，并计算了$r = 2^k$和$n' = -(n^{-1}) \bmod r$的值。然后，我们将$a$、$b$转换为Montgomery数，并使用Montgomery数域转换计算了$a * b \bmod n$的值，并输出结果。